[论文解读] Exact completion of path categories and algebraic set theory -- Part I: Exact completion of path categories

Benno van den Berg, Ieke Moerdijk|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 39被引用 3

一句话总结

本文引入了'路径范畴'——布朗的纤维对象范畴的一种强化，增加了共纤维性条件——并构建了其同伦精确完成，即自由添加同伦商的全新范畴。关键结果是：路径范畴的同伦范畴的精确完成本身也是更大路径范畴的同伦范畴，从而保持并增强了同伦结构，如弱 $Π$-类型和局部笛卡尔闭性。

ABSTRACT

We introduce the notion of a "category with path objects", as a slight strengthening of Kenneth Brown's classic notion of a "category of fibrant objects". We develop the basic properties of such a category and its associated homotopy category. Subsequently, we show how the exact completion of this homotopy category can be obtained as the homotopy category associated to a larger category with path objects, obtained by freely adjoining certain homotopy quotients. In a second part of this paper, we will present an application to models of constructive set theory. Although our work is partly motivated by recent developments in homotopy type theory, this paper is written purely in the language of homotopy theory and category theory, and we do not presuppose any familiarity with type theory on the side of the reader.

研究动机与目标

• 将'路径范畴'的概念正式化，作为布朗纤维对象范畴的强化，确保所有对象均为共纤维的。
• 发展此类范畴的同伦理论，包括带有连接结构的路径对象和同伦意义上的对角填充。
• 构建同伦精确完成，其自由添加同伦商，推广范畴论中的普通精确完成。
• 证明该完成保持并增强同伦性质，如指数对象的存在性和函数外延性。
• 为在同伦设定下解释构造性集合论和类型论奠定范畴论基础，特别是通过句法模型。

提出的方法

• 将路径范畴定义为具有纤维化、弱等价和满足额外公理（包括所有对象的共纤维性）的路径对象构造的范畴。
• 引入新构造——同伦精确完成 $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$，其自由添加路径范畴 $\mathcal{C}$ 的同伦范畴中的同伦商。
• 证明 $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$ 同构于新路径范畴 $\mathrm{Ex}(\mathcal{C})$ 的同伦范畴，该构造保持纤维化和弱等价。
• 证明若 $\mathcal{C}$ 具有弱同伦 $\Pi$-类型（即纤维化意义上的至多同伦内部映射），则 $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$ 是局部笛卡尔闭的。
• 利用精确完成中的下降技术，通过伪等价关系上的同余关系计算 $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$ 的切片中的指数对象。
• 证明沿环路的传输结构在指数构造下保持稳定，从而确保即使原始范畴不满足，完成后的范畴仍满足函数外延性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何强化布朗关于纤维对象范畴的概念，以确保所有对象均为共纤维的？这种修改的同伦后果是什么？
• RQ2 能否以保持其同伦结构的方式构造同伦范畴的精确完成？如果可以，如何实现？
• RQ3 在何种条件下，路径范畴的同伦精确完成继承局部笛卡尔闭性和切片中的指数对象？
• RQ4 在原始范畴缺乏此类性质的情况下，同伦精确完成在多大程度上改善了外延性性质（如函数外延性）？
• RQ5 该构造与类型论和构造性集合论中已知的范畴模型有何关联，特别是与集合对构造和句法模型的关系？

主要发现

• 路径范畴 $\mathcal{C}$ 的同伦精确完成 $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$ 同构于更大路径范畴 $\mathrm{Ex}(\mathcal{C})$ 的同伦范畴，因此保持了同伦结构。
• 若 $\mathcal{C}$ 具有弱同伦 $\Pi$-类型，则 $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$ 是局部笛卡尔闭的，即每个切片范畴都具有指数对象。
• $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$ 中指数对象的构造依赖于伪等价关系上的同余关系实现的下降，且在指数化下保持传输结构的稳定性。
• 该完成确保即使 $\mathcal{C}$ 不满足，$\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$ 中的函数外延性仍成立，这是由于对传输和等价结构的保持。
• $\mathrm{Ex}(\mathcal{C})$ 路径范畴具有半严格半至多同伦的对角填充构造，这是证明稳定性和外延性的关键技术工具。
• 当 $\mathcal{C}$ 具有稳定且不相交的同伦和时，同伦精确完成 $\mathrm{Hex}(\mathcal{C})$ 是一个预拓扑范畴，表明其具有强逻辑闭包性质。