[论文解读] Univalence in locally cartesian closed infinity-categories

David Gepner, Joachim Kock|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用 17

一句话总结

本文证明了在可呈现的局部笛卡尔闭合∞-范畴中，同伦等价族恰好对应于Lurie意义上的有界局部类，且这些族构成的偏序集与此类局部类构成的偏序集同构。本文表明每个∞-拓扑空间都存在一个由正则基数索引的普遍同伦等价族层级结构，且同伦等价性在局部笛卡尔局部化的右伴随下保持不变，其应用涵盖∞-准拓扑空间与动机空间。

ABSTRACT

After developing the basic theory of locally cartesian localizations of presentable locally cartesian closed infinity-categories, we establish the representability of equivalences and show that univalent families, in the sense of Voevodsky, form a poset isomorphic to the poset of bounded local classes, in the sense of Lurie. It follows that every infinity-topos has a hierarchy of "universal" univalent families, indexed by regular cardinals, and that n-topoi have univalent families classifying (n-2)-truncated maps. We show that univalent families are preserved (and detected) by right adjoints to locally cartesian localizations, and use this to exhibit certain canonical univalent families in infinity-quasitopoi (certain infinity-categories of "separated presheaves", introduced here). We also exhibit some more exotic examples of univalent families, illustrating that a univalent family in an n-topos need not be (n-2)-truncated, as well as some univalent families in the Morel--Voevodsky infinity-category of motivic spaces, an instance of a locally cartesian closed infinity-category which is not an n-topos for any $0\leq n\leq\infty$. Lastly, we show that any presentable locally cartesian closed infinity-category is modeled by a combinatorial type-theoretic model category, and conversely that the infinity-category underlying a combinatorial type-theoretic model category is presentable and locally cartesian closed. Under this correspondence, univalent families in presentable locally cartesian closed infinity-categories correspond to univalent fibrations in combinatorial type-theoretic model categories.

研究动机与目标

• 在可呈现的局部笛卡尔闭合∞-范畴中，建立同伦等价族与有界局部类之间的对应关系。
• 证明每个∞-拓扑空间都存在一个由正则基数索引的普遍同伦等价族层级结构。
• 证明同伦等价族在局部笛卡尔局部化的右伴随下被保持并可被检测。
• 在∞-准拓扑空间中构造典范的同伦等价族，并提供超越∞-拓扑空间的示例，包括Morel–Voevodsky的动机∞-范畴。
• 将∞-范畴中的同伦等价族与组合型类型论模型范畴中的同伦等价纤维联系起来。

提出的方法

• 在可呈现的局部笛卡尔闭合∞-范畴中发展局部笛卡尔局部化的理论。
• 利用同伦等价族的普遍性质，在切片范畴中表示等价关系的对象。
• 使用Lurie的有界局部类概念，通过偏序集同构对同伦等价族进行分类。
• 对小∞-范畴上的预层范畴使用左Bousfield局部化，以构造组合型类型论模型范畴。
• 利用原范畴为局部笛卡尔闭合时，预层范畴的左Bousfield局部化亦为局部笛卡尔闭合的性质。
• 通过同伦范畴与丰富预层，建立∞-范畴层面的同伦等价性与模型范畴层面的同伦等价性之间的等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可呈现的局部笛卡尔闭合∞-范畴中，同伦等价族与Lurie意义上的有界局部类有何关系？
• RQ2 能否证明每个∞-拓扑空间都拥有一个由正则基数索引的普遍同伦等价族层级结构？
• RQ3 局部笛卡尔局部化的右伴随是否保持或检测同伦等价族？
• RQ4 ∞-准拓扑空间中的典范同伦等价族有哪些？它们与∞-拓扑空间中的同伦等价族有何不同？
• RQ5 Morel–Voevodsky动机∞-范畴中的同伦等价族与n-拓扑空间中的同伦等价族相比如何？

主要发现

• 在可呈现的局部笛卡尔闭合∞-范畴中，同伦等价族与有界局部类之间存在双射关系，且这些族构成的偏序集同构于此类局部类构成的偏序集。
• 每个∞-拓扑空间都存在一个由正则基数索引的普遍同伦等价族层级结构，每个族分类特定截断层级的映射。
• n-拓扑空间中的同伦等价族分类(n−2)-截断映射，推广了已知的∞-拓扑空间行为。
• 同伦等价族在局部笛卡尔局部化的右伴随下被保持并可被检测，从而可在新情境中构造同伦等价族。
• ∞-准拓扑空间中存在典范的同伦等价族，这些∞-范畴是分离预层的范畴，提供了超越∞-拓扑空间的新示例。
• Morel–Voevodsky的动机空间∞-范畴提供了一个例子：其为局部笛卡尔闭合∞-范畴，但对任意有限n都不是n-拓扑空间，却仍具有同伦等价族。