[论文解读] Exact Large Deviation Functional of a Stationary Open Driven Diffusive System: The Asymmetric Exclusion Process

Bernard Derrida, Joel L. Lebowitz+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2002

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用 18

一句话总结

本文推导了在两端具有粒子 reservoir 的开放稳态非对称排斥过程（ASEP）的精确大偏差函数（LDF）。通过精确的微观动力学和变分法，表明在某些参数区域中，LDF 具有非局部性和非凸性，导致非高斯涨落和相变，将早期对对称情况的结果推广至具有激波和 LDF 二阶导数不连续性的驱动非平衡系统。

ABSTRACT

We consider the asymmetric exclusion process (ASEP) in one dimension on sites $i = 1,..., N$, in contact at sites $i=1$ and $i=N$ with infinite particle reservoirs at densities $ρ_a$ and $ρ_b$. As $ρ_a$ and $ρ_b$ are varied, the typical macroscopic steady state density profile $\bar ρ(x)$, $x\in[a,b]$, obtained in the limit $N=L(b-a) o\infty$, exhibits shocks and phase transitions. Here we derive an exact asymptotic expression for the probability of observing an arbitrary macroscopic profile $ρ(x)$: $P_N(\{ρ(x)\})\sim\exp[-L{\cal F}_{[a,b]}(\{ρ(x)\});ρ_a,ρ_b]$, so that ${\cal F}$ is the large deviation functional, a quantity similar to the free energy of equilibrium systems. We find, as in the symmetric, purely diffusive case $q=1$ (treated in an earlier work), that $\cal F$ is in general a non-local functional of $ρ(x)$. Unlike the symmetric case, however, the asymmetric case exhibits ranges of the parameters for which ${\cal F}(\{ρ(x)\})$ is not convex and others for which ${\cal F}(\{ρ(x)\})$ has discontinuities in its second derivatives at $ρ(x) = \barρ(x)$; the fluctuations near $\barρ(x)$ are then non-Gaussian and cannot be calculated from the large deviation function.

研究动机与目标

• 推导两端具有粒子 reservoir 的开放稳态非对称排斥过程（ASEP）的精确大偏差函数（LDF）。
• 理解非平衡稳态（SNS）中大偏差的统计力学，特别是非高斯涨落和相变的出现。
• 将先前对对称排斥过程的研究结果推广至非对称情形，揭示 LDF 二阶导数的非凸性和不连续性等新特征。

提出的方法

• 作者利用 ASEP 的精确微观跃迁速率，计算在稳态下观察到宏观密度分布 ρ(x) 的概率。
• 通过极限 lim_{L→∞} log(PN)/L 定义大偏差函数 F[a,b]({ρ(x)}; ρa, ρb)，其中 PN 是在 L(b−a) 个站点上观察到 ρ(x) 分布的概率。
• 应用变分法对辅助函数 F(x) 取上确界，通过 (1−ρ(y))dy 的积分的共轭包络构造最优函数 Fρ(x)。
• 该泛函 F 表示为体积极熵项与涉及共轭包络 Gρ 和优化函数 Fρ 的非局部修正项之和，且受边界密度 ρa 和 ρb 的约束。
• 该方法依赖于 ASEP 的矩阵乘积 ansatz 和精确解技术，扩展至计算典型行为之外的大偏差概率。
• 分析中通过分部积分和凸性论证，严格证明了共轭包络构造的合理性及 Fρ(x) 的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 非对称排斥过程（ASEP）的大偏差函数（LDF）在凸性和非局部性方面与对称情况有何不同？
• RQ2 在什么条件下，由于 LDF 二阶导数的不连续性，LDF 表现出非高斯涨落？
• RQ3 在典型密度分布中，激波和相变如何影响开放驱动扩散系统中 LDF 的结构？
• RQ4 能否从微观动力学精确推导 ASEP 的 LDF？其如何依赖于 reservoir 密度 ρa 和 ρb？
• RQ5 集成密度分布的共轭包络在确定最优涨落分布中起什么作用？

主要发现

• ASEP 的大偏差函数 F 在某些参数区域中具有非局部性和非凸性，表明存在无法由高斯近似捕捉的非高斯涨落。
• 当 ρ(x) = ρ̄(x) 时，LDF 的二阶导数出现不连续，导致在典型分布周围的涨落呈现非高斯行为。
• 当 ρa ≠ ρb 时，LDF 精确推导为 F[a,b]({ρ(x)}; ρa, ρb) = −(b−a)K(ρa,ρb) + ∫[ρ(x)logρ(x) + (1−ρ(x))log(1−ρ(x))]dx + sup_F Bρ(F)，其中 Bρ(F) 涉及一个优化函数 Fρ(x)。
• 在固定平均密度约束下，使 LDF 最小化的最优分布 ρ(x) 在 ρa > ρb 时为单调非减，在 ρa < ρb 时为分段常数，且在临界密度处出现相变。
• 当 ρ(x) = 1 − G′_ρ(x) 时，泛函 F 在 ρ(x) 上是逐点凸的，且仅当 ρ(x) 为常数时，才能在固定平均密度约束下实现最小值。
• 推导结果证实，ASEP 的 LDF 一般化了平衡自由能形式，但因系统具有驱动和非平衡特性，引入了非局部修正项。