[论文解读] Exact quantum query complexity of weight decision problems.

Xiaoyu He, Xiaoming Sun+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文通过将问题与切比雪夫多项式联系起来，并引入一种新颖的量子填充技术，确定了权重判定问题的精确量子查询复杂度——即区分长度为 $ n $ 的二进制字符串的汉明权重是否为 $ k $ 或 $ l $。对于大多数 $ (k/n, l/n) $ 比例及较大的 $ n $，上界与下界之间的差距至多为一次查询，从而实现了对精确查询复杂度的紧密刻画。

ABSTRACT

The weight decision problem, which requires to determine the Hamming weight of a given binary string, is a natural and important problem, with applications in cryptanalysis, coding theory, fault-tolerant circuit design and so on. In particular, both Deutsch-Jozsa problem and Grover search problem can be interpreted as special cases of weight decision problems. In this work, we investigate the exact quantum query complexity of weight decision problems, where the quantum algorithm must always output the correct answer. More specifically we consider a partial Boolean function which distinguishes whether the Hamming weight of the length-$n$ input is $k$ or it is $l$. Our contribution includes both upper bounds and lower bounds for the precise number of queries. Furthermore, for most choices of $(\frac{k}{n},\frac{l}{n})$ and sufficiently large $n$, the gap between our upper and lower bounds is no more than one. To get the results, we first build the connection between Chebyshev polynomials and our problem, then determine all the boundary cases of $(\frac{k}{n},\frac{l}{n})$ with matching upper and lower bounds, and finally we generalize to other cases via a new \emph{quantum padding} technique. This quantum padding technique can be of independent interest in designing other quantum algorithms.

研究动机与目标

• 确定部分布尔函数的精确量子查询复杂度，该函数用于区分 $ n $ 位字符串中汉明权重为 $ k $ 或 $ l $ 的情况。
• 弥合现有已知上界与下界之间在权重判定问题查询复杂度上的差距。
• 在 $ n $ 足够大时，为大多数 $ (k/n, l/n) $ 比例建立紧致的界限。
• 引入并应用一种新的量子填充技术，将结果推广至边界情况之外的一般 $ (k/n, l/n) $ 比例。

提出的方法

• 建立权重判定问题与切比雪夫多项式性质之间的数学联系。
• 识别并求解所有上界与下界完全匹配的 $ (k/n, l/n) $ 边界情况。
• 利用量子填充技术，将边界情况的解推广至一般 $ (k/n, l/n) $ 比例。
• 应用量子算法技术，构造出始终返回正确答案的精确量子算法。
• 使用谱方法，并结合由切比雪夫多项式导出的多项式次数界限，分析查询复杂度。
• 通过问题的结构分析与正交多项式渐近行为的结合，证明紧致界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 确定必须进行多少次量子查询，才能以确定性方式判断一个 $ n $ 位字符串的汉明权重是 $ k $ 还是 $ l $？
• RQ2 在哪些 $ (k/n, l/n) $ 比例下，可以使用现有技术精确确定精确查询复杂度？
• RQ3 如何最小化或消除权重判定问题中上界与下界之间的差距？
• RQ4 能否开发一种通用方法，将边界情况下的精确查询复杂度结果推广至任意 $ (k/n, l/n) $ 比例？
• RQ5 哪些新颖的量子算法技术可用于在查询复杂度中实现精确性与紧致界限？

主要发现

• 对于大多数 $ (k/n, l/n) $ 比例及足够大的 $ n $，精确量子查询复杂度的上界与下界之间的差距至多为一次查询。
• 所有 $ (k/n, l/n) $ 边界情况的精确查询复杂度均已完全刻画，此时上界与下界精确匹配。
• 量子填充技术使得边界情况下的精确结果能够推广至任意 $ (k/n, l/n) $ 比例，同时保持界限的紧致性。
• 切比雪夫多项式与权重判定问题之间的联系，为推导查询界限提供了强有力的分析框架。
• 研究结果表明，Deutsch-Jozsa 问题与 Grover 搜索问题均为更一般的权重判定问题框架的特例。
• 本研究确立了在广泛参数范围内，权重判定问题的精确量子查询复杂度具有紧致界限。