[论文解读] Examples of Special Lagrangian Fibrations

Mark Gross|ArXiv.org|Dec 1, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 33被引用 6

一句话总结

该论文通过环面对称性在非紧致卡拉比-丘流形上构造了全局特殊拉格朗日子丛，证明在温和的度量条件下，先前工作中构造的拓扑子丛实际上等价于真实的特殊拉格朗日子丛。通过塔希克-戈伦斯坦奇点的平凡化解析和孤立塔希克奇点的形变，引入了新例子，并基于极限度量数据与对偶仿射结构，提出了一个弱化的SYZ猜想。

ABSTRACT

We explore a number of examples of special Lagrangian fibrations on non-compact Calabi-Yau manifolds invariant under torus actions. These include fibrations on crepant resolutions of canonical toric singularities (already found by Goldstein), proper versions of these fibrations, and fibrations on flat deformations of canonical toric singularities. We do this with an eye towards understanding the global structure and discriminant loci of such fibrations. The paper ends with some speculation, both about local mirror symmetry, and the connections of this work with the work of W.D. Ruan and D. Joyce. In the last section, we discuss the philosophy of the Strominger-Yau-Zaslow conjecture in the light of a number of recent ideas of myself and Wilson, Kontsevich and Soibelman, and Joyce.

研究动机与目标

• 通过环面群作用在非紧致卡拉比-丘流形上显式构造全局特殊拉格朗日子丛。
• 证明在塔希克-戈伦斯坦奇点的平凡化上先前构造的拓扑子丛在温和的凯勒度量条件下实际上为特殊拉格朗日子丛。
• 通过孤立塔希克-戈伦斯坦奇点的平坦形变（即光滑化）构造特殊拉格朗日子丛的新例子。
• 基于极限度量与仿射结构数据，提出一个弱化的SYZ猜想，避免处理余维数为一的判别集问题。
• 通过S¹对称性与黑塞流形上的勒让德对偶性，探索平凡化上子丛与光滑化上子丛之间的对偶性。

提出的方法

• 在几乎卡拉比-丘流形 $(X, \rho, \theta)$ 上利用环面作用 $T^m$，保持凯勒形式 $\omega$ 与全纯 $n$-形式 $\Omega$。
• 应用辛约化，构造商空间 $Z_p = \mu_0^{-1}(p)/T$ 上的约化辛形式 $\omega_{\text{red}}$ 与约化 $(n-m)$-形式 $\Omega_{\text{red}}$。
• 证明若子流形 $M_{\text{red}} \subset Z_p$ 关于 $\omega_{\text{red}}, \Omega_{\text{red}}$ 是特殊拉格朗日的，则其拉回 $M \subset \mu_0^{-1}(p)$ 在 $X$ 中也是特殊拉格朗日的。
• 通过映射 $f = (\mu_0, g): X \to \mathfrak{t}^* \times Y$ 构造全局子丛，其中 $g$ 是 $T$-不变的，确保若约化纤维为特殊拉格朗日，则纤维也为特殊拉格朗日。
• 提出一种新构造变体，通过特殊拉格朗日电流的极限对基空间进行紧化，从而获得适当的子丛。
• 通过取退化族 $\mathcal{X}_{t_i}$ 上特殊拉格朗日子丛相关度量空间 $B_i$ 的极限，构造基空间 $B_\infty$ 上的极限度量结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，塔希克-戈伦斯坦奇点的平凡化上构造的拓扑子丛与真实的特殊拉格朗日子丛一致？
• RQ2 能否通过平坦形变在孤立塔希克-戈伦斯坦奇点的光滑化上构造特殊拉格朗日子丛？
• RQ3 在塔希克卡拉比-丘几何中，特殊拉格朗日子丛在极值转变（解析 → 奇点 → 光滑化）过程中如何演化？
• RQ4 S¹对称性在构造平凡化上子丛的对偶子丛中起何作用？这与SYZ猜想有何关联？
• RQ5 能否基于极限度量与仿射结构，提出一个弱化的SYZ猜想，尤其当判别集变为余维数一时？

主要发现

• 在温和的凯勒度量 $\omega$ 条件下，[10] 中为塔希克-戈伦斯坦奇点的平凡化构造的拓扑子丛实际上为特殊拉格朗日子丛，且 $\omega$ 不必为里奇平坦。
• 在孤立塔希克-戈伦斯坦奇点的光滑化上构造了特殊拉格朗日子丛的新例子，这些结果此前未见于文献。
• 本文证明了极值转变——即奇点解析、退化至奇点、再光滑化——会诱导特殊拉格朗日子丛的变换，揭示了平凡化子丛与光滑化子丛之间的对偶性。
• 提出一个弱化的SYZ猜想：极限子丛的基空间 $B_\infty$ 为紧致度量空间，其稠密开子集 $B_0$ 为满足蒙日-安培方程的子流形，且判别集 $\Delta = B_\infty \setminus B_0$ 的豪斯多夫余维数为二。
• 在族 $\mathcal{X}_{t_i}$ 收敛的条件下，猜想极限度量空间 $B_\infty$ 与极限卡拉比-丘流形 $X_\infty$ 的基空间等距（至多相差缩放因子）。
• 基空间上度量势的勒让德变换诱导对偶仿射结构，暗示了平凡化上子丛与光滑化上子丛之间的对偶性，与康特舍维奇-索伊贝尔曼哲学一致。