[论文解读] Exel's crossed product and crossed products by completely positive maps

B. K. Kwaśniewski|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 41被引用 10

一句话总结

本文引入了一种使用完全正映射的C*-代数广义交叉积构造，统一了Exel的交叉积与由自同态生成的Cuntz型交叉积。证明了Exel的交叉积 $ A ≀_{α,ℓ}ℕ $ 等价于相对于理想 $ α(A) $ 的转移算子 $ ℓ $ 的交叉积，并表明任意无限图的C*-代数均可通过Perron-Frobenius算子实现为这种交叉积，即使不存在底层自同态。

ABSTRACT

We introduce crossed products of a $C^*$-algebra $A$ by a completely positive map $\varrho:A o A$ relative to an ideal in $A$. They generalize various crossed products by endomorphisms when $\varrho$ is multiplicative. When $A$ is commutative they include $C^*$-algebras associated to Markov operators by Ionescu, Muhly, Vega, and to topological relations by Brenken, but in general they are not modeled by topological quivers popularized by Muhly and Tomforde. We show that Exel's crossed product $A times_{α,L} \mathbb{N}$, generalized to the case where $A$ is not necessarily unital, is the crossed product of $A$ by the transfer operator $L$ relative to the ideal generated by $α(A)$. We give natural conditions under which $α(A)$ is uniquely determined by $L$, and hence $A times_{α,L} \mathbb{N}$ depends only on $L$. Moreover, the $C^*$-algebra $\mathcal{O}(A,α,L)$ associated to $(A,α,L)$ by Exel and Royer always coincides with our unrelative crossed product by $L$. As another non-trivial application of our construction we extend a result of Brownlowe, Raeburn and Vittadello, by showing that the $C^*$-algebra of an arbitrary infinite graph $E$ can be realized as a crossed product of the diagonal algebra $\mathcal{D}_E$ by a `Perron-Frobenious' operator $L$. The important difference is that in general there is no endomorphism $α$ of $\mathcal{D}_E$ making $(\mathcal{D}_E,α,L)$ an Exel system.

研究动机与目标

• 统一C*-代数交叉积理论的两大主线：由自同态（Cuntz型）和由转移算子（Exel型）构造的交叉积。
• 将Exel的交叉积推广至非单位C*-代数，并证明其可作为相对于自同态像的理想之转移算子交叉积而出现。
• 证明任意无限图的C*-代数可被实现为对角代数关于Perron-Frobenius算子的交叉积，即使不存在相容的自同态。
• 通过识别转移算子唯一确定自同态的条件，厘清Exel系统与新交叉积构造之间的关系。

提出的方法

• 引入C*-代数 $ A $ 沿完全正映射 $ \varrho $ 相对于理想 $ J \subseteq A $ 的相对交叉积 $ C^*(A, \varrho; J) $。
• 将非相对交叉积定义为 $ C^*(A, \varrho) = C^*(A, \varrho; N_\varrho^\perp) $，其中 $ N_\varrho $ 是 $ \ker \varrho $ 中的最大理想。
• 在温和条件下，证明Exel的交叉积 $ A \rtimes_{\alpha,\mathcal{L}}\mathbb{N} $ 等于相对于理想 $ \alpha(A) $ 的 $ \mathcal{L} $ 交叉积。
• 构造 $ (\mathcal{D}_E, \mathcal{L}) $ 在 $ M(C^*(E)) $ 中的严格收敛乘子表示 $ (\mathrm{id}, u_\lambda) $，其中 $ u_\lambda = \sum_{e} \sqrt{\lambda_e} s_e $，以实现图代数为交叉积。
• 利用协变条件 $ N_\mathcal{L}^\perp \cap J(X_\mathcal{L}) \subseteq \overline{\mathcal{D}_E u_\lambda \mathcal{D}_E u_\lambda^*} $，建立从 $ C^*(\mathcal{D}_E, \mathcal{L}) $ 到 $ C^*(E) $ 的$*$-同态。
• 通过规范作用和交叉积构造的唯一性，证明该同态是同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 Exel的交叉积 $ A \rtimes_{\alpha,\mathcal{L}}\mathbb{N} $ 是否可表征为相对于理想 $ \alpha(A) $ 的完全正映射交叉积？
• RQ2 在何种条件下，自同态 $ \alpha $ 由转移算子 $ \mathcal{L} $ 唯一确定？
• RQ3 能否将任意无限图的C*-代数实现为对角代数关于转移算子的交叉积，即使不存在底层自同态？
• RQ4 新交叉积构造与现有框架（如相对Cuntz-Pimsner代数和Schweizer的完全正映射交叉积）之间有何关系？

主要发现

• Exel的交叉积 $ A \rtimes_{\alpha,\mathcal{L}}\mathbb{N} $ 同构于相对于理想 $ \alpha(A) $ 的转移算子 $ \mathcal{L} $ 的交叉积，推广至非单位代数。
• $ \mathcal{O}(A,\alpha,\mathcal{L}) $（Exel与Royer的C*-代数）与非相对交叉积 $ C^*(A,\mathcal{L}) $ 一致，表明与先前构造的一致性。
• 对任意无限图 $ E $，图C*-代数 $ C^*(E) $ 同构于 $ C^*(\mathcal{D}_E, \mathcal{L}) $，其中 $ \mathcal{L} $ 是由 $ \mathcal{L}(a) = u_\lambda a u_\lambda^* $ 定义的Perron-Frobenius算子，即使不存在满足 $ (\mathcal{D}_E, \alpha, \mathcal{L}) $ 为Exel系统的自同态 $ \alpha $。
• 理想 $ N_\mathcal{L}^\perp \cap J(X_\mathcal{L}) $ 等于 $ \alpha(\mathcal{D}_E)\mathcal{D}_E $，表明协变条件成立当且仅当 $ \mathcal{L} $ 是正规转移算子。
• 当 $ E $ 无无限发射点时，算子 $ u_\lambda = \sum_e \sqrt{\lambda_e} s_e $ 在范数下收敛，且交叉积 $ C^*(\mathcal{D}_E, \mathcal{L}) $ 沿映射 $ a \mapsto a $，$ as \mapsto a u_\lambda $ 同构于 $ C^*(E) $。
• 若存在自同态 $ \alpha $ 使得 $ (\mathcal{D}_E, \alpha, \mathcal{L}) $ 为Exel系统，则 $ \alpha $ 必须由 $ \alpha(a) = \sum_e s_e a s_e^* $ 给出，且 $ E $ 必须是局部有限且无源点的图。