[论文解读] Existence and Consistency of Wasserstein Barycenters

Thibaut Le Gouic, Jean–Michel Loubes|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用 9

一句话总结

本文引入了一种基于测地空间上弗雷歇均值的Wasserstein中位数概念，证明了在一般条件下其存在性与一致性。研究证明，随机分布或经验测度的中位数几乎必然收敛于真实中位数，从而将统计均值概念推广至具有曲率约束的度量空间中的概率测度。

ABSTRACT

In this paper, based on the Fr{\'e}chet mean, we define a notion of barycenter corresponding to a usual notion of statistical mean. We prove the existence of Wasserstein barycenters of random distributions defined on a geodesic space (E, d). We also prove the consistency of this barycenter in a general setting, that includes taking barycenters of empirical versions of the distributions or of a growing set of distributions.

研究动机与目标

• 通过弗雷歇均值框架，为度量空间中的概率分布定义一种具有统计意义的中位数概念。
• 在测地空间 (E, d) 上，建立Wasserstein中位数的存在性。
• 证明当基于经验分布或随观测分布数量增加而计算时，中位数的一致性。
• 将统计均值概念推广至标准平均方法失效的非欧几里得空间。
• 为涉及形状、图像或具有几何结构的时间序列等复杂数据的应用，提供理论基础。

提出的方法

• 将Wasserstein中位数定义为在测地空间 (E, d) 上的概率测度空间上，弗雷歇泛函的最小化点。
• 使用Wasserstein距离（Wasserstein度量）来度量概率分布之间的差异性。
• 通过在弱拓扑下对概率测度空间的紧致性与下确界连续性论证，建立存在性。
• 通过证明经验中位数几乎必然收敛于真实中位数，建立一致性，当分布数量增加时。
• 应用最优传输与度量几何的成果，处理 (E, d) 中的曲率与测地完备性。
• 利用在适当条件下弗雷歇泛函的凸性与下确界连续性，确保最小化点的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Wasserstein度量下，对于测地空间上的一组概率分布，是否存在一个明确定义的中位数？
• RQ2 是否能够从分布的经验样本或随时间增长的观测分布序列中一致地估计中位数？
• RQ3 所提出的中位数在多大程度上将经典统计均值概念推广至非欧几里得、弯曲的度量空间？
• RQ4 在底层空间 (E, d) 上，哪些条件能确保中位数的存在性与一致性？
• RQ5 中位数在多大程度上保持了输入分布的几何与概率性质？

主要发现

• 对于完备测地空间 (E, d) 上的任意概率分布集合，Wasserstein中位数均存在。
• 中位数被明确定义为弗雷歇泛函的最小化点，该泛函衡量的是至输入分布的平均Wasserstein距离。
• 已建立一致性：当样本数量增加时，基于经验分布计算的中位数几乎必然收敛于真实中位数。
• 该结果在一般条件下成立，包括当分布独立同分布地从同一分布中抽取时。
• 该框架适用于广泛的空间类别，包括黎曼流形和度量树，其中测地线有良好定义。
• 理论基础使得对形状、图像和时间序列等复杂非欧几里得数据的稳健统计分析成为可能。