[论文解读] Existence and multiplicity results for Brezis-Nirenberg type fractional Choquard equation

Tuhina Mukherjee, K. Sreenadh|arXiv (Cornell University)|May 22, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文研究了涉及分数阶拉普拉斯算子和 Hardy-Littlewood-Sobolev 临界非线性的分数阶 Choquard 方程的解的存在性与多重性。通过变分方法，作者在某些参数范围内建立了非平凡解的存在性，特别是当参数 λ 低于某一临界阈值时。

ABSTRACT

In this article, we study the Brezis-Nirenberg type problem of nonlinear Choquard equation involving a fractional Laplacian \[ (-\De)^s u = \left( \int_{\Om}\frac{|u|^{2^*_{\mu,s}}}{|x-y|^{\mu}}\mathrm{d}y ight)|u|^{2^*_{\mu,s}-2}u +\la u \; ext{in } \Om,\] where $\Om $ is a bounded domain in $\mathbb R^n$ with $C^{1,1}$ boundary, $\la $ is a real parameter, $s \in (0,1)$, $n >2s$ and $2^*_{\mu,s}= (2n-\mu)/(n-2s)$ is the critical exponent in the sense of Hardy-Littlewood-Sobolev inequality. We obtain some existence and multiplicity results for solution of the above equation using variational methods.

研究动机与目标

• 研究在具有 C^{1,1} 边界的有界区域中涉及分数阶拉普拉斯算子的非线性 Choquard 方程的 Brezis-Nirenberg 型问题。
• 分析参数 λ 在决定解的存在性与多重性方面的作用。
• 研究由 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式引出的临界指数 $2^*_{\rho,s} = (2n - \mu)/(n - 2s)$ 的作用。
• 将变分方法扩展至具有奇异、非局部积分非线性的分数阶非局部设定。
• 建立非平凡解存在且多重的条件。

提出的方法

• 采用变分方法，特别是临界点理论，分析方程的弱解。
• 在 Sobolev 空间 $H^s_0(\Omega)$ 中工作，这是分数阶拉普拉斯算子在零边界条件下自然适用的空间。
• 利用 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式来证明非局部项 $\int_{\Omega} \frac{|u|^{2^*_{\mu,s}}}{|x-y|^\mu} dy$ 的适定性。
• 应用集中紧致性原理和紧嵌入技术，以克服临界指数情形下的紧致性缺失问题。
• 分析与方程相关的能量泛函，并通过山路引理或其他变分工具证明临界点的存在性。
• 当 $\lambda$ 低于某一阈值时，建立至少一个非平凡解的存在性；在额外的几何或对称性条件下，可证明存在多个解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有 Brezis-Nirenberg 型非线性的分数阶 Choquard 方程至少存在一个非平凡解？
• RQ2 参数 $\lambda$ 如何影响临界指数情形下解的存在性与多重性？
• RQ3 分数阶 $s \in (0,1)$ 在方程可解性中起到何种作用？
• RQ4 变分方法能否成功应用于涉及 Hardy-Littlewood-Sobolev 积分的这种非局部、非线性问题？
• RQ5 当 $\lambda$ 位于分数阶拉普拉斯算子第一特征值以下的某一范围内时，是否存在多个解？

主要发现

• 当参数 $\lambda$ 低于某一临界阈值时，分数阶 Choquard 方程存在非平凡弱解。
• 临界指数 $2^*_{\mu,s} = (2n - \mu)/(n - 2s)$ 自然地由 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式导出，并控制非线性的增长。
• 变分方法的应用使得作者能够在 Choquard 项具有非局部性的情况下证明存在性结果。
• 具有 $C^{1,1}$ 边界的有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 确保了分析所需的足够正则性。
• 在 $\lambda$ 满足特定条件时，解集表现出多重性，特别是当 $\lambda$ 低于 $(-\Delta)^s$ 的第一特征值时。
• 本研究将经典的 Brezis-Nirenberg 结果推广至具有卷积型非线性的分数阶与非局部设定。