[论文解读] Existence and symmetry result for Fractional p-Laplacian in $\mathbb{R}^{n}$

César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 13被引用 3

一句话总结

该论文在 $ℝ^n$ 上通过在 Cerami 条件下应用山路定理，证明了带势能和次临界、超线性非线性的分数阶 $p$-拉普拉斯方程存在非平凡弱解。此外，通过对称递减重排和分数阶索博列夫空间中的波利亚-施韦策不等式，进一步证明了该解具有径向对称性。

ABSTRACT

In this article we are interested in the following fractional $p$-Laplacian equation in $\mathbb{R}^n$ \begin{eqnarray*} &(-Δ)_{p}^αu + V(x)u^{p-2}u = f(x,u) \mbox{ in } \mathbb{R}^{n}, \end{eqnarray*} where $p\geq 2$, $0< s < 1$, $n\geq 2$ and subcritical p-superlinear nonlinearity. By using mountain pass theorem with Cerami condition we prove the existence of nontrivial solution. Furthermore, we show that this solution is radially simmetry.

研究动机与目标

• 在 $ℝ^n$ 中，针对带势项和次临界、超线性非线性的分数阶 $p$-拉普拉斯方程类，建立非平凡弱解的存在性。
• 分析所获解的对称性特征，特别是证明其具有径向对称性。
• 将变分方法，特别是带有 Cerami 条件的山路定理，扩展至分数阶 $p$-拉普拉斯的非局部、非线性设定。
• 应用对称递减重排技术，证明解的能量泛函在重排后变为径向对称版本时被最小化。
• 验证能量泛函在分数阶索博列夫空间 $X^s$ 中满足临界点理论所需的紧致性和几何条件。

提出的方法

• 在分数阶索博列夫空间 $X^s = \{u \in W^{s,p}(\mathbb{R}^n) : \int_{\mathbb{R}^n} V(x)|u|^p dx < \infty\}$ 中形式化问题，其范数为 $\|u\|_{X^s} = \left( [u]_{s,p}^p + \|V^{1/p}u\|_p^p \right)^{1/p}$。
• 定义能量泛函 $I(u) = \frac{1}{p}\|u\|_{X^s}^p - \int_{\mathbb{R}^n} F(x,u) dx$，其中 $F(x,t) = \int_0^t f(x,s) ds$，并在给定假设下证明其为 $C^1$。
• 验证 $I$ 满足山路几何：$I(0) = 0$，存在 $\rho, \alpha > 0$ 使得当 $\|u\|_{X^s} = \rho$ 时 $I(u) \geq \alpha$，且存在某 $e$ 满足 $\|e\|_{X^s} > \rho$ 使得 $I(e) < 0$。
• 应用 Cerami 条件以确保任意 $(C)_c$ 序列具有收敛子列，从而支持山路定理的应用。
• 利用对称递减重排 $u^*$ 证明对所有 $u \in X^s$ 有 $I(u^*) \leq I(u)$，借助分数阶波利亚-施韦策不等式及 $V$ 的径向对称性。
• 在重排路径上应用埃克兰德变分原理，提取一个收敛至临界点的 Cerami 序列，该临界点被证明具有径向对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ℝ^n$ 中，分数阶 $p$-拉普拉斯方程 $(-\Delta)_p^s u + V(x)u^{p-2}u = f(x,u)$ 在何种条件下存在非平凡弱解？
• RQ2 在无界区域中，带有 Cerami 条件的山路定理是否可成功应用于分数阶 $p$-拉普拉斯相关联的能量泛函？
• RQ3 在给定 $f$ 和 $V$ 的假设下，通过变分方法获得的解是否继承径向对称性？
• RQ4 在分数阶索博列夫空间背景下，对称递减重排如何影响能量泛函？
• RQ5 假设为正且径向递增的势 $V(x)$ 在保证解的对称性方面起何种作用？

主要发现

• 与分数阶 $p$-拉普拉斯方程相关联的能量泛函 $I$ 满足山路几何和 Cerami 条件，从而确保存在非平凡临界点。
• 在假设 $(V)$、$(f_1)$–$(f_3)$ 下，方程 $(-\Delta)_p^s u + V(x)u^{p-2}u = f(x,u)$ 在 $ℝ^n$ 中存在非平凡弱解，此结果由山路定理保证。
• 通过山路过程获得的解具有径向对称性，这是通过应用对称递减重排和分数阶波利亚-施韦策不等式所证明的。
• 重排后的泛函满足 $I(u^*) \leq I(u)$，且等式成立当且仅当 $u$ 本身已是径向对称且非增，这意味着最小化器必为对称的。
• 通过埃克兰德原理提取的 Cerami 序列在 $X^s$ 中强收敛至临界点 $w$，满足 $I(w) = c$ 且 $I'(w) = 0$，从而确认了非平凡解的存在性。
• 由于 $V(x)$ 的径向结构以及重排可降低能量，解的径向对称性得以保持，这意味着最小化器必为对称的。