[论文解读] Fractional $p\&q$ Laplacian problems in $\mathbb{R}^{N}$ with critical growth

Vincenzo Ambrosio|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文通过变分法和一种新颖的集中紧致性引理，建立了在 $ℝ^N$ 上具有临界增长的分数阶 $p\&q$ 拉普拉斯方程存在非平凡非负弱解。关键结果表明，当参数 $\lambda > 0$ 足够大时，在非线性项满足超线性、亚临界增长条件且扰动 $h$ 有界非平凡的条件下，此类解存在。通过在弱极限的帕莱斯-斯莫尔序列上进行精细估计，克服了临界指数导致的紧致性缺失问题。

ABSTRACT

We deal with the following nonlinear problem involving fractional $p\&q$ Laplacians: \begin{equation*} (-\Delta)^{s}_{p}u+(-\Delta)^{s}_{q}u+|u|^{p-2}u+|u|^{q-2}u=\lambda h(x) f(u)+|u|^{q^{*}_{s}-2}u \mbox{ in } \mathbb{R}^{N}, \end{equation*} where $s\in (0,1)$, $1<p<q<\frac{N}{s}$, $q^{*}_{s}=\frac{Nq}{N-sq}$, $\lambda>0$ is a parameter, $h$ is a nontrivial bounded perturbation and $f$ is a superlinear continuous function with subcritical growth. Using suitable variational arguments and concentration-compactness lemma, we prove the existence of a nontrivial non-negative solution for $\lambda$ sufficiently large.

研究动机与目标

• 建立全空间 $ℝ^N$ 中具有临界增长的分数阶 $p\&q$ 拉普拉斯方程的非平凡非负弱解的存在性。
• 解决在无界区域中由于临界指数 $q_s^*$ 引起的紧致性缺失问题。
• 将变分技术（包括山路定理和隆斯的集中紧致性原理）推广至具有临界非线性的非局部 $p\&q$ 框架。
• 证明当参数 $\lambda > 0$ 足够大时，在非线性项 $f$ 和扰动 $h$ 满足适当假设下，解存在。

提出的方法

• 将问题表述为定义在空间 $X = W^{s,p}(\mathbb{R}^N) \cap W^{s,q}(\mathbb{R}^N)$ 上的欧拉-拉格朗日泛函 $J(u)$ 的临界点问题。
• 应用山路定理寻找与帕莱斯-斯莫尔序列 $ (u_n) $ 相关的临界水平 $c^*$。
• 通过一种专为分数阶 $p$-拉普拉斯算子设计的集中紧致性引理变体，证明帕莱斯-斯莫尔序列的弱极限是弱解。
• 利用布雷齐斯-利布引理和插值不等式，证明在有界性和弱收敛条件下，$ u_n \to u $ 在 $ L^t(\mathbb{R}^N) $ 中强收敛，其中 $ t \in (p, q_s^*] $，且在 $ X $ 中也强收敛。
• 通过将欧拉-拉格朗日方程与 $ u^- = \min\{u, 0\} $ 进行测试，并利用不等式 $ |x-y|^{t-2}(x-y)(x^--y^-) \geq |x^--y^-|^t $（当 $ t > 1 $ 时），证明解的非负性。
• 通过验证泛函 $ J_+(u) $（其中包含 $ F(u^+) $）可产生非负解，即证明 $ \|u^-<\|_s,p^p + \|u^-<\|_s,q^q \leq 0 $，从而推出 $ u^- = 0 $ 几乎处处成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ℝ^N$ 上，分数阶 $p\&q$ 拉普拉斯方程在具有临界增长时，其非平凡弱解在何种条件下存在？
• RQ2 在无界区域中，如何克服由于临界指数 $q_s^*$ 导致的紧致性缺失问题？
• RQ3 参数 $\lambda$ 在解的存在性中起什么作用？对于哪些值，非平凡解存在？
• RQ4 山路定理等变分方法能否被适配到具有临界非线性的非局部 $p\&q$ 算子框架中？
• RQ5 如何修改集中紧致性原理以处理多重非局部算子背景下分数阶 $p$-拉普拉斯算子的情形？

主要发现

• 存在 $\lambda^* > 0$，使得对所有 $\lambda \geq \lambda^*$，问题 (1.1) 存在非平凡非负弱解。
• 解通过山路定理作用于泛函 $J$ 获得，其临界水平 $c^*$ 为正且可实现。
• 由于无穷远处的集中消失和点质量的消失，帕莱斯-斯莫尔序列的弱极限在 $X$ 中强收敛。
• 集中紧致性引理被适配以处理分数阶 $p$-拉普拉斯算子，确保对所有 $i \in I$ 有 $\nu_i = 0$，且 $\nu_\infty = 0$，这意味着 $u_n \to u$ 在 $L^{q_s^*}(\mathbb{R}^N)$ 中收敛。
• 通过证明 $\|u^-<\|_s,p^p + \|u^-<\|_s,q^q \leq 0 $，证明了解的非负性，从而推出 $u^- = 0$ 几乎处处成立。
• 利用布雷齐斯-利布引理和 $L^t$-空间中非线性项的收敛性（$t \in (p, q_s^*]$），建立了 $u_n \to u$ 在 $X$ 中的强收敛。