[论文解读] Existence of measure-valued solutions to a complete Euler system for a perfect gas

Jan Březina|arXiv (Cornell University)|May 15, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 21被引用 3

一句话总结

该论文通过两种不同的消失极限过程——从带有熵输运的纳维-斯托克斯方程出发的消失粘性极限，以及从布伦纳的双速度模型出发的消失耗散极限——建立了三维理想气体完整欧拉系统可重整化耗散测度值（rDMV）解的存在性。关键贡献在于证明了rDMV解的弱-强唯一性原理，确保当经典解存在时，rDMV解与之几乎处处重合。

ABSTRACT

The concept of renormalized dissipative measures-valued (rDMV) solutions to a complete Euler system for a perfect gas was introduced in [8] and further discussed in [9]. Moreover it was shown there that rDMV solutions satisfy the weak (measure--valued)--strong uniqueness principle that makes them a useful tool. In this paper we prove the existence of rDMV solutions. Namely, we formulate the complete Euler system in conservative variables usual for numerical analysis and recall the concept of rDMV solutions based on the total energy balance and renormalization of entropy inequality for the physical entropy presented in [8]. We then give two different ways how to generate rDMV solutions. First via vanishing viscosity limit using Navier-Stokes equations coupled with entropy transport and second via the vanishing dissipation limit of the two-velocity model proposed by H. Brenner. Finally, we recall the weak--strong uniqueness principle for rDMV solutions proved in [8] and [9].

研究动机与目标

• 建立理想气体完整欧拉系统的可重整化耗散测度值（rDMV）解的存在性。
• 解决可压缩欧拉流中由于振荡和奇点导致的弱解唯一性缺失问题。
• 通过两种不同的消失极限构造——基于带熵输运的纳维-斯托克斯方程，以及基于布伦纳双速度模型的消失耗散——得到rDMV解。
• 证明rDMV解的弱-强唯一性原理，确保当经典解存在时，其与之保持一致。
• 通过引入总能量平衡和可重整化熵不等式，拓展测度值解的理论框架。

提出的方法

• 以守恒变量形式表述完整欧拉系统：质量、动量和总能量，其中熵满足可重整化不等式。
• 通过总能量平衡和涉及递增凹函数χ的正则化熵不等式，定义rDMV解。
• 通过带人工粘性与熵输运的纳维-斯托克斯方程解的极限构造rDMV解。
• 通过布伦纳双速度模型在耗散消失极限下的解构造rDMV解。
• 利用相对能量估计和相对能量泛函的强制性，推导弱-强唯一性原理。
• 对相对能量不等式应用Gronwall型估计，证明当经典解存在时，rDMV解必与之几乎处处重合。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过带熵输运的纳维-斯托克斯方程的消失粘性极限，构造理想气体完整欧拉系统的rDMV解？
• RQ2 能否通过布伦纳双速度模型的消失耗散极限，生成理想气体的rDMV解？
• RQ3 在理想气体完整欧拉系统的背景下，rDMV解的弱-强唯一性原理是否成立？
• RQ4 可重整化熵不等式在确保rDMV解的稳定性和唯一性方面起什么作用？
• RQ5 总能量平衡与可重整化熵不等式如何共同刻画物理解释一致的测度值解？

主要发现

• 通过两种独立的消失极限过程——消失粘性与消失耗散——确立了理想气体完整欧拉系统rDMV解的存在性。
• rDMV解满足总能量平衡和可重整化熵不等式，确保热力学一致性。
• 弱-强唯一性原理成立：若经典解存在，则rDMV解必与之在时空几乎处处重合。
• 为rDMV解导出的相对能量不等式可通过Gronwall不等式吸收误差项，从而导致极限解的强收敛。
• rDMV解的极限由狄拉克测度表示，表明密度、动量和总能量在L¹范数下强收敛于经典解。
• 极限中的缺陷测度消失，证实rDMV解在L¹范数下强收敛于经典解。