[论文解读] Existence of solutions for critical Choquard problem with singular coefficients

Yang Yang, Yuling Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 26被引用 4

一句话总结

该论文通过变分法与Nehari流形技术，证明了带奇异系数和临界Hardy-Sobolev指数的分数阶Choquard方程存在正解与变号解。借助Hardy-Littlewood-Sobolev不等式与能量泛函分析，在适当的参数约束下，证明了最小能量变号解的存在性。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the following fractional Choquard type equation: \[ (- Δ)_p^s\, u = λ\frac{|u|^{r-2}u}{|x|^α}\,+γ\big(\int_Ω\frac{|u|^q}{|x-y|^μ}dy\big) |u|^{q-2}u \ \ ext{in } Ω,\ \ u = 0 \ ext{in } \R^N \setminus Ω, \] where $Ω$ is a bounded domain in $\R^N$ with Lipschitz boundary, $p>1$, $0sp$, $0\leqα\leq sp$, $00$, $p\leq r\leq p^*_α$, $p\leq 2q\leq 2p_{μ,s}^*$, $p_α^*=\frac{(N-α)p}{N-sp}$ and $p_{μ,s}^*=\frac{(N-\fracμ{2})p}{N-sp}$ are the fractional critical Hardy-Sobolev and the critical exponents in the sense of Hardy-Littlewood-Sobolev inequality, respectively. Under some suitable assumptions, positive and sign-changing solutions are obtained.

研究动机与目标

• 研究含Hardy型势的低阶项的临界分数阶Choquard方程解的存在性问题。
• 将先前关于非局部相互作用下临界指数问题的研究结果，拓展至同时包含奇异系数与Choquard型非线性的情形。
• 通过在变号Nehari流形上进行最小化，建立最小能量变号解的存在性。
• 分析分数阶$p$-Laplacian与Hardy-Littlewood-Sobolev嵌入相关约束下能量泛函及其临界点的行为。
• 在临界指数与奇异权存在的条件下，证明Palais-Smale序列的紧致性与收敛性性质。

提出的方法

• 采用通过超奇异积分表示定义的分数阶$p$-Laplacian算子$(-\Delta)_p^s$。
• 运用Nehari流形方法识别与问题相关的能量泛函的临界点。
• 应用Hardy-Littlewood-Sobolev不等式控制涉及Riesz势的非局部Choquard项。
• 在加权分数阶Sobolev空间$W_0^{s,p}(\Omega)$中建立Palais-Smale序列的有界性与弱收敛性。
• 通过集中紧致性方法与范数的严格凸性，证明极小化序列的强收敛性。
• 利用度理论与同伦不变性，在Nehari集上通过反证法证明变号临界点的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带奇异系数与临界Hardy-Sobolev增长的分数阶Choquard方程允许存在正解？
• RQ2 与问题相关的能量泛函是否能在变号Nehari流形上达到其下确界？
• RQ3 参数$\lambda$在解的存在性与多重性中起何种作用，尤其是在临界阈值$S_{sp,p}$附近？
• RQ4 Riesz势项$\int_\Omega \frac{|u|^q}{|x-y|^\mu} dy$的存在如何影响Palais-Smale序列的紧致性？
• RQ5 当非线性项同时包含奇异项与临界增长项时，是否可能构造出最小能量变号解？

主要发现

• 论文在$\lambda < S_{sp,p}$条件下，证明了带奇异系数的临界Choquard问题至少存在一个正解，其中$S_{sp,p}$为分数阶Hardy-Sobolev不等式中的最佳常数。
• 通过在变号Nehari流形$\mathscr{N}_{sc}$上最小化能量泛函，建立了最小能量变号解的存在性。
• 变号问题的极小化序列在$W_0^{s,p}(\Omega)$中强收敛，确保了存在一个弱解，其正部与负部均不恒为零。
• 通过最小化得到的解$v$满足$\langle J'(v), v^\pm \rangle = 0$，确认其为能量泛函的临界点。
• 作者证明了与变号解相关的能量水平$c_2$严格小于基态能量水平的两倍，表明其非平凡性，并与正解的能量水平相区别。
• 证明依赖于非局部项$\gamma \int\!\!\int \frac{|v^\pm|^q |v|^q}{|x-y|^\mu} dxdy$极限的严格正性，从而确保$v$为真正变号解，而非正负部分相互作用消失的和。