[论文解读] The Brezis-Nirenberg problem for the fractional $p$-Laplacian involving critical Hardy-Sobolev exponents

Yang Yang|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 54被引用 4

一句话总结

本文建立了带临界 Hardy-Sobolev指数的分数阶 $p$-Laplacian 方程非平凡解的存在性、多重性及分岔，将经典的 Brezis-Nirenberg 结果推广至非局部、加权情形。通过克服 [37] 中的渐近估计所导致的显式极小化子缺失问题，证明了在 $N$、$p$、$s$、$\alpha$ 和 $\lambda$ 的各种条件下存在多个解，包括在特征值处的分岔。

ABSTRACT

We obtain existence, multiplicity, and bifurcation results for the Brezis-Nirenberg problem for the fractional $p$ obreakdash-Laplacian operator, involving critical Hardy-Sobolev exponents. Our results are mainly extend results in the literature for $α=0$. In the absence of an explicit formula for a minimizer in the fractional Hardy-Sobolev inequality $α ot= 0$, we get around this difficulty by working with certain asymptotic estimates for minimizers recently obtained in \cite{MM}.

研究动机与目标

• 将经典的 Brezis-Nirenberg 问题推广至带临界 Hardy-Sobolev 指数且含奇异权 $|x|^{-\alpha}$ 的分数阶 $p$-Laplacian 问题。
• 在 $\alpha \neq 0$ 时，建立该问题非平凡弱解的存在性与多重性，此时分数阶 Hardy-Sobolev 不等式的显式极小化子不可用。
• 通过采用 Marano 等人 [37] 的最新渐近估计，解决分数阶 Hardy-Sobolev 不等式最优极小化子缺乏显式公式的问题。
• 在区域 $\Omega$ 满足几何与正则性条件时，证明在特征值 $\lambda_k$ 处的分岔结果。
• 利用变分方法与上同调指标方法，将 $\alpha = 0$ 时的已知结果推广至临界加权情形。

提出的方法

• 在配备 Gagliardo 半范数为范数的空间 $W^{s,p}_0(\Omega)$ 中采用变分框架，定义与问题相关的能量泛函 $I_\lambda$。
• 基于上同调指标与伪指标的抽象临界点理论，检测能量泛函的多个非平凡临界点。
• 利用 [37] 中最近获得的分数阶 Hardy-Sobolev 不等式极小化子的渐近估计，克服 $\alpha \neq 0$ 时显式极小化子缺失的问题。
• 在次临界能量范围内建立能量泛函的 Palais-Smale 条件，以确保变分框架中的紧致性。
• 使用连通定理与形变论证构造临界点，尤其在 $\lambda$ 接近或等于某个特征值 $\lambda_k$ 时。
• 应用 Hölder 不等式与范数估计，控制能量泛函及其导数中涉及 $|u|^{p_s^*(\alpha)-2}/|x|^\alpha$ 的非线性项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\alpha \neq 0$ 时，带临界 Hardy-Sobolev 指数与奇异权 $|x|^{-\alpha}$ 的分数阶 $p$-Laplacian 问题是否存在非平凡弱解？
• RQ2 分数阶 Hardy-Sobolev 不等式极小化子缺乏显式公式，如何影响解的存在性与多重性？
• RQ3 在加权临界情形下，是否可在特征值 $\lambda_k$ 处发生分岔？在 $\Omega$ 的何种几何条件下成立？
• RQ4 确保多个解存在的 $N$、$p$、$s$ 与 $\alpha$ 的精确条件是什么？
• RQ5 极小化子的渐近性质如何影响变分框架中下解与上解的构造？

主要发现

• 当 $N \geq sp^2$ 且 $\lambda < \lambda_1$ 时，问题至少存在一个非平凡弱解，将经典 Brezis-Nirenberg 结果推广至加权情形。
• 当 $N > sp^2$ 且 $\lambda$ 不等于任意特征值 $\lambda_k$ 时，即使存在奇异权 $|x|^{-\alpha}$，问题仍至少存在一个非平凡解。
• 当 $N^2/(N+s) > sp^2$ 时，问题存在非平凡解，推广了 $\alpha = 0$ 情形下的已知条件。
• 在条件 $[N^2(N-\alpha) + s^3p^3 + \alpha sp(N-sp)]/[N(N+s-\alpha)] > sp^2$ 且 $\partial\Omega \in C^{1,1}$ 下，问题在 $\lambda = \lambda_k$ 处存在非平凡解。
• 对于 $\lambda < \lambda_{k+1}$，本文证明存在 $m$ 对不同的非平凡解 $\pm u_j^\lambda$，满足 $I_\lambda(u_j^\lambda) \to 0$ 当 $\lambda \nearrow \lambda_{k+1}$，表明在特征值处发生分岔。
• 当 $\lambda \to \lambda_{k+1}^{-}$ 时，解满足 $\|u_j^\lambda\| \to 0$ 且 $|u_j^\lambda|_{p_s^*(\alpha)} \to 0$，确认在 $W^{s,p}_0(\Omega)$ 与 $L^{p_s^*(\alpha)}(\Omega)$-范数下均收敛于零。