[论文解读] Existence of spatially differentiable solutions of stochastic differential equations with non-globally monotone coefficient functions

Anselm Hudde, Martin Hutzenthaler+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文通过引入局部单调性条件和额外的正则性假设，建立了非全局单调系数函数的随机微分方程（SDEs）的连续可微解的存在性。其主要贡献在于将空间可微性结果的适用范围扩展至不要求有界导数的限制条件，从而使得伊藤-阿列克谢耶夫-格罗布纳公式可应用于现实世界应用中的更广泛类别的SDEs。

ABSTRACT

Spatial differentiability of solutions of stochastic differential equations (SDEs) is required for the Ito-Alekseev-Grobner formula and other applications. In the literature, this differentiability is only derived if the coefficient functions of the SDE have bounded derivatives and this property is rarely satisfied in applications. In this article we establish existence of continuously differentiable solutions of SDEs whose coefficients satisfy a suitable local monotonicity property and further conditions. These conditions are satisfied by many SDEs from applications.

研究动机与目标

• 解决现有文献中要求有界导数以保证SDE解的空间可微性的局限性。
• 识别出弱于全局单调性和有界导数的条件，这些条件仍能确保空间可微性。
• 建立一个适用于实际应用中出现的SDEs的理论框架，其系数函数通常不具备全局单调性或有界导数。
• 为在更广泛的SDE类中应用伊藤-阿列克谢耶夫-格罗布纳公式提供理论基础。

提出的方法

• 将SDE的漂移和扩散系数上的局部单调性条件作为关键结构假设引入。
• 对系数施加额外的正则性条件，以确保足够的光滑性以实现可微性。
• 应用随机微积分和先验估计，以控制解在局部邻域内的行为。
• 使用局部化技术，在所提条件下将局部可微性扩展为全局连续可微性。
• 依赖于具有不规则系数的SDE背景下的不动点论证和比较原理。
• 通过基于系数函数正则性和局部单调性性质的递推论证建立可微性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有非全局单调系数的SDEs仍能存在空间可微解？
• RQ2 现有可微性结果中对有界导数的要求能否在具有不规则系数的SDEs中放宽？
• RQ3 系数函数的何种结构特性可保证连续可微解的存在？
• RQ4 如何利用局部单调性来证明SDE解的全局可微性？
• RQ5 所提条件在多大程度上覆盖了实际应用中出现的SDEs？

主要发现

• 本文证明了在系数满足局部单调性条件时，即使不满足全局单调性或有界导数条件，SDEs仍存在连续可微解。
• 所提条件适用于许多实际应用中的SDEs，从而扩展了伊藤-阿列克谢耶夫-格罗布纳公式的适用范围。
• 该可微性结果的建立不依赖于全局Lipschitz条件或有界导数条件，放宽了文献中的标准假设。
• 该方法依赖于针对不规则系数量身定制的局部化、先验估计和不动点论证的创新组合。
• 该框架使得分析局部单调但非全局单调的系数SDEs成为可能，拓宽了可微性理论的适用范围。
• 该结果为涉及非光滑或非全局单调系数的SDEs的敏感性分析和控制应用提供了理论基础。