[论文解读] Strong and weak divergence of exponential and linear-implicit Euler approximations for stochastic partial differential equations with superlinearly growing nonlinearities

Matteo Beccari, Martin Hutzenthaler+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 167被引用 15

一句话总结

本文证明了带超线性增长非线性的随机偏微分方程（SPDEs）——特别是随机Allen-Cahn方程——的指数Euler格式与线性隐式Euler格式在强收敛和数值弱收敛意义下均出现发散现象。通过使用Lyapunov型函数与Sobolev嵌入定理的逆先验估计，作者证明了当时间步长减小时，数值解的p阶矩会发散至无穷大，从而解决了SPDE设定下具有超线性漂移项的显式格式稳定性问题这一开放难题。

ABSTRACT

The explicit Euler scheme and similar explicit approximation schemes (such as the Milstein scheme) are known to diverge strongly and numerically weakly in the case of one-dimensional stochastic ordinary differential equations with superlinearly growing nonlinearities. It remained an open question whether such a divergence phenomenon also holds in the case of stochastic partial differential equations with superlinearly growing nonlinearities such as stochastic Allen-Cahn equations. In this work we solve this problem by proving that full-discrete exponential Euler and full-discrete linear-implicit Euler approximations diverge strongly and numerically weakly in the case of stochastic Allen-Cahn equations. This article also contains a short literature overview on existing numerical approximation results for stochastic differential equations with superlinearly growing nonlinearities.

研究动机与目标

• 解决显式Euler型格式在具有超线性增长非线性的SPDEs中是否发散的开放问题，正如在SODE情形中所见那样。
• 将已知的关于一维SODEs中具有超线性漂移项的发散结果推广至SPDEs，特别是随机Allen-Cahn方程。
• 证明对于此类SPDEs，全离散的指数Euler与线性隐式Euler逼近在强收敛与弱收敛意义下均不收敛。

提出的方法

• 通过Lyapunov型函数与逆Gronwall型不等式推导逆先验估计，以估计解快速增长的罕见事件。
• 应用Sobolev嵌入定理，将SPDE设定下的路径正则性与矩增长联系起来。
• 通过初始数据的尾部估计，构建数值解超过大阈值的罕见事件的下界概率。
• 分析两种特定格式：指数Euler与线性隐式Euler，结合空间投影与时间离散化。
• 利用SPDE生成元的算子理论性质与有限维逼近，控制离散解的正则性与增长。
• 通过验证格式满足矩爆破所需的结构条件，将通用发散框架应用于SPDEs。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有超线性增长非线性的SPDEs，显式Euler型格式是否如在SODE中一样表现出强收敛与弱收敛的发散？
• RQ2 SODE中具有超线性漂移项的发散现象能否推广至随机反应-扩散方程（如Allen-Cahn方程）？
• RQ3 初始数据与噪声结构的何种条件会导致全离散的指数Euler与线性隐式Euler格式在SPDEs中出现矩爆破？

主要发现

• 对于任意 p ∈ (0, ∞)，全离散指数Euler逼近的p阶矩在时间步长趋于零时发散至无穷大。
• 在SPDE与初始数据满足相同条件时，线性隐式Euler格式也具有相同的发散结果。
• 发散由解路径因超线性漂移而快速增长的罕见事件驱动，即使初始数据具有重尾分布亦如此。
• 分析结果确认数值格式无法保持矩界，表明在强收敛与弱收敛意义下均存在不稳定性。
• 只要投影与算子性质满足，该结果对空间离散化的选择具有鲁棒性。
• 该框架适用于漂移项中的一般多项式非线性项，包括q ≥ 2时的Allen-Cahn情形。