[论文解读] Existence of Weak Conical Kähler-Einstein Metrics Along Smooth Hypersurfaces

Chengjian Yao|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用 11

一句话总结

该论文通过光滑连续法与局部Moser迭代，证明了在紧致凯勒流形的光滑超曲面上，锥角位于 $(0, 2\pi)$ 范围内的弱锥型凯勒-爱因斯坦度量的存在性。该研究涵盖了负、零与正里奇曲率情形，其中正曲率情形需满足扭曲凯勒能量泛函的正则性条件及 $c_1(L_D) \geq 0$，并通过 $C^0$ 估计与局部正则性技术实现了统一的 $C^2$ 估计，而无需依赖背景锥型度量。

ABSTRACT

The existence of \emph{weak conical Kähler-Einstein} metrics along smooth hypersurfaces with angle between $0$ and $2π$ is obtained by studying a smooth continuity method and a \emph{local Moser's iteration} technique. In the case of negative and zero Ricci curvature, the $C^0$ estimate is unobstructed; while in the case of positive Ricci curvature, the $C^0$ estimate obstructed by the properness of the \emph{twisted K-Energy}. As soon as the $C^0$ estimate is achieved, the local Moser iteration could improve the \emph{rough bound} on the approximations to a \emph{uniform $C^2$ bound}, thus produce a \emph{weak conical Kähler-Einstein} metric. The method used here do not depend on the bound of any background conical Kähler metrics.

研究动机与目标

• 建立在紧致凯勒流形的光滑超曲面上，对任意锥角 $2\pi\beta$，$\beta \in (0,1)$，弱锥型凯勒-爱因斯坦度量的存在性。
• 消除先前布伦德尔（Brendle）与卡姆帕纳-古尼亚-帕恩（Campana-Guenancia-P\^aun）工作中存在的 $\beta \leq \frac{1}{2}$ 限制。
• 通过使用奇异当前方程的光滑逼近，开发一种不依赖背景锥型凯勒度量的方法。
• 在获得 $C^0$ 估计后，利用局部Moser迭代证明统一的 $C^2$ 估计，从而实现弱锥型解的构造。

提出的方法

• 通过将奇异当前 $(1-\beta)\chi$ 用光滑形式 $\chi_\epsilon$ 逼近，构造光滑连续路径，避免对奇异度量的直接分析。
• 利用科尔多杰（Kolodziej）针对右端项属于 $L^p$ 空间（$p < \frac{1}{1-\beta}$）的复蒙日-安培方程的局部 $L^p$ 估计，推导出 $C^0$ 估计。
• 在由 $C^0$ 估计与一致直径控制导出的里奇曲率下界条件下，利用陈-路不等式（Chern-Lu inequality）获得粗糙的 $C^2$ 估计。
• 应用局部Moser迭代，将粗糙的 $C^2$ 估计升级为形式为 $C^{-1}\omega_{\beta,\epsilon} \leq \omega_{\phi_\epsilon} \leq C\omega_{\beta,\epsilon}$ 的统一 $C^2$ 估计，且该估计与 $\epsilon$ 无关。
• 该方法依赖于与局部模型度量 $\omega_\beta$ 的拟等距性，避免对预先存在的锥型凯勒度量的依赖。
• 由里奇曲率下界与体积归一化条件，推导出统一的Sobolev常数，从而支持在Moser迭代中应用局部 $L^p$ 估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱锥型凯勒-爱因斯坦度量是否可在所有锥角 $\beta \in (0,1)$ 下存在，而无需限制 $\beta \leq \frac{1}{2}$？
• RQ2 光滑连续法是否可在不依赖奇异连续路径的情况下，用于构造弱锥型凯勒-爱因斯坦度量？
• RQ3 在正里奇曲率情形下，什么条件能确保 $C^0$ 估计成立？扭曲凯勒能量泛函的正则性与可解性之间有何关系？
• RQ4 局部Moser迭代是否可用于在锥型情形下将粗糙 $C^2$ 估计升级为统一 $C^2$ 估计？
• RQ5 除了 $C^2$ 正则性外，弱锥型凯勒-爱因斯坦度量的正则性预期如何，特别是在 Hölder 或 $C^{2,\alpha}$ 意义下？

主要发现

• 当 $\mu < 0$ 时，对所有 $\beta \in (0,1)$，弱锥型凯勒-爱因斯坦度量存在，仅需满足上同调条件 $c_1(X) = \mu[\omega_0] + (1-\beta)c_1(L_D)$，无需额外假设。
• 当 $\mu = 0$ 时，对所有 $\beta \in (0,1)$，弱锥型凯勒-爱因斯坦度量存在，$C^0$ 估计无阻碍，且与 $D$ 是否为正无关。
• 当 $\mu > 0$ 时，存在性在附加条件 $c_1(L_D) \geq 0$ 与扭曲凯勒能量泛函正则性下得以证明，确保 $C^0$ 估计成立。
• 局部Moser迭代技术成功地将粗糙 $C^2$ 估计升级为形式为 $C^{-1}\omega_{\beta,\epsilon} \leq \omega_{\phi_\epsilon} \leq C\omega_{\beta,\epsilon}$ 的统一 $C^2$ 估计，且该估计与 $\epsilon$ 无关，从而得到弱锥型解。
• 该方法不依赖任何背景锥型凯勒度量，与以往方法形成鲜明对比，为一般锥角情形下的存在性提供了新途径。
• 弱解的正则性仍为开放问题，尽管本文表明 $C^2$ 估计是一致的，且解与模型度量 $\omega_\beta$ 拟等距。