[论文解读] Exotic group C*-algebras in noncommutative duality

S. Kaliszewski, Magnus B. Landstad+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 13

一句话总结

本文建立了傅里叶-斯蒂尔杰斯代数 B(G) 中包含 Br(G) 的 G-不变弱*-闭子空间 E 与 C*(G) 和 Cr(G) 之间的中间 C*-代数 CE(G) 之间的一一对应关系。它表明，当 E 是理想时，CE(G) 具有共作用；当 E 是子代数时，CE(G) 具有共乘法，并引入了 E-交叉积以探索非交换对偶性中的“奇异”对偶性，猜想这些中间交叉积满足与 CE(G) 相关的 E-交叉积对偶性。

ABSTRACT

We show that for a locally compact group G there is a one-to-one correspondence between G-invariant weak*-closed subspaces E of the Fourier-Stieltjes algebra B(G) containing B_r(G) and quotients C*_E(G) of C*(G) which are intermediate between C*(G) and the reduced group algebra C*_r(G). We show that the canonical comultiplication on C*(G) descends to a coaction or a comultiplication on C*_E(G) if and only if E is an ideal or subalgebra, respectively. When αis an action of G on a C*-algebra B, we define "E-crossed products" B times_{α,E} G lying between the full crossed product and the reduced one, and we conjecture that these "intermediate crossed products" satisfy an "exotic" version of crossed-product duality involving C*_E(G).

研究动机与目标

• 建立 B(G) 中包含 Br(G) 的 G-不变弱*-闭子空间 E 与 C*(G) 和 Cr(G) 之间的中间 C*-代数 CE(G) 之间的一一对应关系。
• 根据 E 是 B(G) 中的理想还是子代数，刻画 CE(G) 何时具有共作用或共乘法。
• 为 C*-动力系统 (B, G, α) 定义介于全交叉积与约化交叉积之间的 E-交叉积 B⋊α,E G。
• 猜想这些 E-交叉积满足涉及 CE(G) 的‘奇异’版本的交叉积对偶性。
• 在非交换对偶性的背景下，探讨这些中间 C*-代数的结构与对偶性性质。

提出的方法

• 使用初等调和分析，通过 E ⊆ B(G) 的正交补，将 CE(G) 构造为 C*(G) 的商代数。
• 利用 C*(G) 上的典范共作用 δG，证明 CE(G) 当且仅当 E 是 B(G) 中的理想时，继承一个共作用。
• 通过 δG 的商，证明 CE(G) 当且仅当 E 是 B(G) 中的子代数时，具有共乘法。
• 将 E-交叉积 B⋊α,E G 定义为全交叉积 B⋊αG 关于一个核理想 Jα,E 的商。
• 利用 [EKQR06] 的对偶性框架，将 B⋊α,E G 上的对偶共作用与 CE(G) 上的共乘法联系起来。
• 通过商映射与同构的交换图，形式化 E-交叉积对偶性的概念。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时商代数 CE(G) 从 C*(G) 上的典范共作用继承一个共作用？
• RQ2 何时 CE(G) 具有共乘法，且 E ⊆ B(G) 的代数条件是什么？
• RQ3 能否定义 E-交叉积 B⋊α,E G，使其严格介于全交叉积与约化交叉积之间？
• RQ4 是否每个共作用都满足某个 E 的 E-交叉积对偶性，如猜想 6.12 所述？
• RQ5 如猜想 6.14 所示，B⋊α,E G 上的对偶共作用是否等价于 CE(G) 上的共乘法？

主要发现

• 存在 B(G) 中包含 Br(G) 的 G-不变弱*-闭子空间 E 与 C*(G) 和 Cr(G) 之间的中间 C*-代数 CE(G) 之间的一一对应关系。
• 当且仅当 E 是 B(G) 中的理想时，CE(G) 具有共作用 M(C*(G)) → M(CE(G) ⊗ C*(G))。
• 当且仅当 E 是 B(G) 中的子代数时，CE(G) 具有共乘法 M(CE(G)) → M(CE(G) ⊗ CE(G))。
• 对于任意作用 (B, α)，E-交叉积 B⋊α,E G 定义为 B⋊αG 关于理想 Jα,E 的商，其严格介于全交叉积与约化交叉积之间。
• 猜想 6.14 提出 B⋊α,E G 上的对偶共作用满足 E-交叉积对偶性，意味着存在一个包含 ΦE 与商映射的交换图。
• 平凡作用在 ℂ 上给出 CE(G) = ℂ⋊ι,E G，推广了极端情形 C*(G) = ℂ⋊ιG 与 Cr(G) = ℂ⋊ι,rG。