[论文解读] Explicit formulas of Euler sums via multiple zeta values

Ce Xu, Weiping Wang|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Advanced Mathematical Identities参考文献 46被引用 3

一句话总结

本文提出了显式公式，分别以排列和组合的方式，将欧拉和与交错欧拉和表示为多重 zeta 值（MZVs）和交错 MZVs 的有理线性组合。主要贡献是一种系统化方法，可将所有此类和——非交错情形至权重 11，交错情形至权重 6——约化为 MZVs，并提供了相应的 Maple 计算软件包。

ABSTRACT

Flajolet and Salvy pointed out that every Euler sum is a $\mathbb{Q}$-linear combination of multiple zeta values. However, in the literature, there is no formula completely revealing this relation. In this paper, using permutations and compositions, we establish two explicit formulas for the Euler sums, and show that all the Euler sums are indeed expressible in terms of MZVs. Moreover, we apply this method to the alternating Euler sums, and show that all the alternating Euler sums are reducible to alternating MZVs. Some famous results, such as the Euler theorem, the Borwein--Borwein--Girgensohn theorems, and the Flajolet--Salvy theorems can be obtained directly from our theory. Some other special cases, such as the explicit expressions of $S_{r^m,q}$, $S_{r^m,\bar{q}}$, $S_{\bar{r}^m,q}$ and $S_{\bar{r}^m,\bar{q}}$, are also presented here. The corresponding Maple programs are developed to help us compute all the sums of weight $w\leq 11$ for non-alternating case and of weight $w\leq 6$ for alternating case.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的公开问题：寻找一个通用的显式公式，将所有欧拉和表示为多重 zeta 值（MZVs）的有理线性组合。
• 将此框架扩展至交错欧拉和，证明其可约化为交错 MZVs。
• 提供一个统一的理论基础，以重新推导著名结果，如欧拉定理、Borwein–Borwein–Girgensohn 定理以及 Flajolet–Salvy 定理。
• 计算并列出特定欧拉和（例如 $S_{r^m,q}$, $S_{\bar{r}^m,q}$）在非交错情形权重至 11、交错情形权重至 6 的显式求值结果。
• 开发一个基于推导出的显式公式的 Maple 软件包，用于自动计算欧拉和。

提出的方法

• 利用整数的排列和组合来分解欧拉和的结构，并推导出显式代数恒等式。
• 应用嵌套和的拟打乱代数结构，以建模调和数与 zeta 值之间的代数关系。
• 通过组合分解，将欧拉和中被加数的分子表示为 MZV 基元素的线性组合。
• 使用符号计算技术，通过递归分解系统地将调和数乘积约化为 MZVs 的组合。
• 在自定义 Maple 软件包中实现推导出的公式，以计算所有权重 $ w \leq 11 $（非交错）和 $ w \leq 6 $（交错）的欧拉和。
• 利用已知的 MZVs 和交错 MZVs 结果，验证并校准约化过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有欧拉和是否都能通过一个通用公式，显式表示为多重 zeta 值的有理线性组合？
• RQ2 交错欧拉和在多大程度上可约化为交错多重 zeta 值？
• RQ3 如何利用排列和组合系统地分解欧拉和中调和数乘积的结构？
• RQ4 表达给定权重下所有欧拉和所需的完整基元素集合是什么？
• RQ5 能否开发一个计算框架，以自动化方式计算指定权重内的欧拉和？

主要发现

• 所有权重 $ w \leq 11 $ 的非交错欧拉和均可表示为 MZVs 的有理线性组合，并为权重 3 至 11 提供了完整基。
• 所有权重 $ w \leq 6 $ 的交错欧拉和均可约化为交错 MZVs，且表 1 中列出了 18 个特定和的显式求值结果。
• 该方法重新推导出经典结果，如欧拉公式 $ \zeta(2,1) = \zeta(3) $，Borwein–Borwein–Girgensohn 关于二次和的定理，以及 Flajolet–Salvy 的一般约化定理。
• 本文提供了特殊族（如 $ S_{r^m,q} $, $ S_{\bar{r}^m,q} $, $ S_{r^m,\bar{q}} $, 和 $ S_{\bar{r}^m,\bar{q}} $）的显式闭式表达式，并给出了具体求值结果。
• 开发并验证了一个 Maple 软件包，可计算所有权重 $ w \leq 11 $（非交错）和 $ w \leq 6 $（交错）的欧拉和，实现自动化求值。
• 特定和如 $ S_{1^4,\bar{2}} $, $ S_{1^2 2,\bar{2}} $, 和 $ S_{2^2,\bar{2}} $ 的求值结果已显式计算并以有理系数列于表格中。