[论文解读] Explicit lower bounds on strong quantum simulation

Cupjin Huang, Michael Newman+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文通过引入单调模拟器这一类别（涵盖大多数主流模拟技术），建立了强量子模拟的显式、无条件的下界，证明了模拟某些 n-量子比特电路至少需要 (n−2)(2^{n−3}−1) 的时间。在强指数时间假设（SETH）下，进一步表明高精度强模拟必须耗费 2^{n−o(n)} 的时间，表明大规模量子电路的强模拟在本质上不可行。

ABSTRACT

We consider the problem of strong (amplitude-wise) simulation of $n$-qubit quantum circuits, and identify a subclass of simulators we call monotone. This subclass encompasses almost all prominent simulation techniques. We prove an unconditional (i.e. without relying on any complexity theoretic assumptions) and explicit $(n-2)(2^{n-3}-1)$ lower bound on the running time of simulators within this subclass. Assuming the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH), we further remark that a universal simulator computing any amplitude to precision $2^{-n}/2$ must take at least $2^{n - o(n)}$ time. Finally, we compare strong simulators to existing SAT solvers, and identify the time-complexity below which a strong simulator would improve on state-of-the-art SAT solving.

研究动机与目标

• 为一类广泛存在的模拟方法的强量子模拟时间复杂度建立无条件的下界。
• 在强指数时间假设（SETH）下，分析高精度近似下强模拟的困难性。
• 将强模拟器与最先进的SAT求解器进行比较，识别强模拟器可能超越它们的临界点。
• 证明单调模拟器（实践中常见）由于固有的结构复杂性，无法高效模拟某些量子电路。
• 论证弱模拟而非强模拟，才是实现大规模量子电路可扩展模拟的必要路径。

提出的方法

• 引入单调模拟器类别，其仅依赖张量网络的非零结构（骨架），忽略系数取值。
• 将使用单调算术电路计算永久值的问题归约为强模拟，利用已知的永久值计算下界。
• 利用强指数时间假设（SETH）推导出对精度为 2^{-n}/2 的振幅近似模拟器的条件性下界。
• 通过证明：若模拟器的时间复杂度低于 2^{n}/2^{n/O(log m/n)}，则其求解 #SAT 问题的速度将超过目前已知最佳的SAT求解器，从而实现与之比较。
• 应用填充论证，将条件性下界扩展至精度为 2^{-αn}/2 的模拟器，其中任意 0 < α ≤ 1。
• 采用张量网络形式化方法与封闭骨架，独立于振幅值对量子电路进行建模与结构复杂性分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用单调模拟器模拟任意 n-量子比特量子电路所需的最短时间是多少？
• RQ2 在标准复杂性假设下，能否以亚指数时间完成精度为 2^{-n}/2 的高精度强模拟？
• RQ3 在何种条件下，强模拟器在求解 #SAT 问题时会超越最先进的SAT求解器？
• RQ4 单调模拟器是否存在固有的结构限制，导致其无法高效模拟通用量子电路？
• RQ5 能否设计出弱模拟器，使其达到亚指数时间复杂度，从而成为强模拟的可行替代方案？

主要发现

• 为单调模拟器建立了无条件的下界 (n−2)(2^{n−3}−1)，适用于所有在系数上单调的已知强模拟技术。
• 在强指数时间假设（SETH）下，任何精度为 2^{-n}/2 的强模拟器至少需要 2^{n−o(n)} 的时间，表明对大规模 n 的模拟在本质上不可行。
• 若强模拟器的时间复杂度低于 2^{n}/2^{n/O(log m/n)}，则其求解 #SAT 问题的速度将超过最佳已知 SAT 求解器，意味着实现了重大的算法突破。
• 条件性下界可扩展至精度为 2^{-αn}/2 的模拟器（任意 0 < α ≤ 1），在 SETH 下其时间复杂度需达到 2^{αn−o(n)}。
• 结果表明，使用当前方法即使允许近似，对数百个量子比特的强模拟在本质上也是不可行的。
• 本文识别出强模拟器将超越 SAT 求解器的临界阈值，凸显了弱模拟作为可扩展替代方案的潜力。