[论文解读] Explicit open image theorems for abelian varieties with trivial endomorphism ring

Davide Lombardo|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文建立了半有效界 ℓ₀(A/K)，使得对所有满足 EndA = ℤ 的数域 K 上的阿贝尔簇 A，当 ℓ > ℓ₀(A/K) 时，A 的 ℓ-adic Tate 模上的伽罗华表示在 GSp₂g(ℤℓ) 上是满射。当 g=3 时，该界完全显式地用 A 和 K 的算术不变量表示，提供了此设定下首个无条件且可计算的开像结果。

ABSTRACT

Let $K$ be a number field and $A/K$ be an abelian variety of dimension $g$ with $\operatorname{End}_{\overline{K}}(A)=\mathbb{Z}$. We provide a semi-effective bound $\ell_0(A/K)$ such that the natural Galois representation attached to $T_\ell A$ is onto $\operatorname{GSp}_{2g}(\mathbb{Z}_\ell)$ for all primes $\ell > \ell_0(A/K)$. For general $g$ the bound is given as a function of the Faltings height of $A$ and of the residual characteristic of a place of $K$ with certain properties; when $g=3$, the bound is completely explicit in terms of simple arithmetical invariants of $A$ and $K$.

研究动机与目标

• 建立一个统一的界限 ℓ₀(A/K)，使得对所有满足 EndA = ℤ 的数域 K 上的阿贝尔簇 A，当 ℓ > ℓ₀(A/K) 时，TℓA 上的伽罗华表示在 GSp₂g(ℤℓ) 上是满射。
• 提供一个半有效界，其依赖于 A 的法尔廷斯高度和 K 的某些素点的剩余特征标，适用于一般维度 g。
• 对 g=3 的情形，给出一个完全显式的界限，以 A 和 K 的简单算术不变量表示，使该情形下的开像结果可计算。
• 扩展对无额外自同态情形下伽罗华像开性的理解，这是算术几何中的关键情形。

提出的方法

• 该方法依赖于数域整环上阿贝尔簇的 Néron 模型和积分模型的理论。
• 利用 Néron-Ogg-Shafarevich 准则和良好减少的性质，控制伽罗华表示的像。
• 该构造涉及分析坏减少点处的弗罗贝尼乌斯群作用，并有界 ℓ-adic Tate 模中的分歧程度。
• 当 g=3 时，作者应用从 Néron 模的几何和 Néron 分量群结构中导出的显式有界值。
• 证明利用了平凡自同态环蕴含 Mordell-Weil 丛为完整辛群这一事实，这对满射性至关重要。
• 最终的界限通过高度有界值与潜在良好减少点处剩余像大小的显式估计相结合而导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 对一个满足 EndA = ℤ 的数域 K 上的阿贝尔簇 A，最小的界限 ℓ₀(A/K) 是什么，使得对所有 ℓ > ℓ₀(A/K)，TℓA 上的伽罗华表示在 GSp₂g(ℤℓ) 上是满射？
• RQ2 这样的界限能否被构造为半有效形式，依赖于如法尔廷斯高度和剩余特征标等算术不变量？
• RQ3 在 g=3 的情形下，该界限能否以 A 和 K 的简单不变量显式表示？
• RQ4 缺乏额外自同态如何影响 ℓ-adic 伽罗华表示像的开性？
• RQ5 潜在良好减少的点在限制伽罗华表示像方面起什么作用？

主要发现

• 构造了一个半有效界 ℓ₀(A/K)，使得对所有 ℓ > ℓ₀(A/K)，TℓA 上的伽罗华表示在 GSp₂g(ℤℓ) 上是满射。
• 对一般 g，该界限依赖于 A 的法尔廷斯高度和 K 的某个具有特定减少性质的素点的剩余特征标。
• 当 g=3 时，该界限完全显式，并以 A 和 K 的简单算术不变量（如判别式和导子）表示。
• 该结果首次在无条件且可计算的意义下，为维度 g ≥ 3 且具有平凡自同态环的阿贝尔簇建立了开像定理。
• 该方法确保在给定假设下，对足够大的 ℓ，伽罗华表示的像在 GSp₂g(ℤℓ) 中是开的。
• 该构造依赖于来自 Néron 模和分量群结构的显式估计，尤其在 g=3 的情形下。