[论文解读] On the surjectivity of mod $\ell$ representations associated to elliptic curves

David Zywina|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文提出了一种实用算法，用于确定非复乘椭圆曲线 E 在 ℚ 上的模 ℓ Galois 表示 ρ_{E,ℓ} 不是满射的有限素数 ℓ 的集合。基于 Serre 定理，该方法利用 Frobenius 轨迹和二次互反律，构造一个在 𝔽₂ 上的线性方程组，以识别满射性的障碍；关键结果是，对于所有不在计算所得有限集合中的 ℓ，ρ_{E,ℓ} 是满射的，且对例外集合给出了改进的界。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve over the rationals that does not have complex multiplication. For each prime $\ell$, the action of the absolute Galois group on the $\ell$-torsion points of $E$ can be given in terms of a Galois representation $ρ_{E,\ell}\colon \operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) o GL_2(\mathbb{F}_\ell)$. An important theorem of Serre says that $ρ_{E,\ell}$ is surjective for all sufficiently large $\ell$. In this paper, we describe a simple algorithm based on Serre's proof that can quickly determine the finite set of primes $\ell$ for which $ρ_{E,\ell}$ is not surjective. We will also give some improved bounds for Serre's theorem.

研究动机与目标

• 为计算非复乘椭圆曲线 E 在 ℚ 上的模 ℓ Galois 表示 ρ_{E,ℓ} 不是满射的有限素数 ℓ 的集合，提供一种实用算法。
• 通过给出常数 c(E) 的显式、可计算的上界，改进 Serre 定理，其中 c(E) 是满足对所有 ℓ > c(E) 有 ρ_{E,ℓ} 是满射的最小整数。
• 验证并加强一个猜想，即当 (ℓ, j_E) 属于由特定 j-不变量和同源性条件定义的有限例外对集合 𝒮 时，ρ_{E,ℓ} 对所有 ℓ > 13 是满射的。
• 通过利用除法多项式的 Galois 群，实现对有限例外集合外所有 ℓ 的满射性的高效计算验证。

提出的方法

• 通过检查 ℓ ≤ 13、(ℓ, j_E) 是否属于已知的例外集合 𝒮，以及 Frobenius 轨迹 a_p(E) 是否被 ℓ 整除，来构造素数 ℓ 的有限集合 S。
• 识别满足 j_E 或 j_E − 1728 的特定 p-进赋值条件的素数 q_j，以定义初始障碍集合。
• 选择具有 Kodaira 符号 I₀ 或 I₀* 且满足 |a_p(E_p)| ≠ 0 且 p_i 不整除 2q₁⋯q_d 的素数 p_i。
• 对每个这样的 p_i，使用勒让德符号计算 α_{i,j} = (1 − (q_j / p_i))/2 和 β_i = (1 − (−1 / p_i))/2，以在 𝔽₂ 上建模二次剩余性。
• 从 α_{i,j} 和 β_i 值构造矩阵 A_m 和向量 b_m；在 𝔽₂ 上求解线性系统 A_m x = b_m，以检测满射性的障碍。
• 当系统 A_r x = b_r 无解时停止；集合 S 包含所有 ℓ ≤ 13、(ℓ, j_E) ∈ 𝒮，以及整除任意 a_p(E)（p ≤ p_r）的 ℓ。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的非复乘椭圆曲线 E 在 ℚ 上，模 ℓ Galois 表示 ρ_{E,ℓ} 不是满射的所有素数 ℓ 的完整有限集合是什么？
• RQ2 Serre 定理中关于对足够大的 ℓ 有 ρ_{E,ℓ} 是满射的结论，能否通过给出例外集合的显式、可计算的上界而变得有效？
• RQ3 是否对所有 ℓ > 13，ρ_{E,ℓ} 是满射的，除非 (ℓ, j_E) 属于由特定 j-不变量和同源性条件定义的例外集合 𝒮？
• RQ4 能否通过利用 ℓ-division 多项式的 Galois 群，对有限多个例外素数 ℓ 高效地测试 ρ_{E,ℓ} 的满射性？

主要发现

• 该算法计算出一个素数集合 S，使得对所有 ℓ ∉ S，ρ_{E,ℓ} 是满射的，且 S 仅依赖于 E 的 j-不变量和 Frobenius 轨迹。
• 对于 Cremona 数据库中所有导子 ≤ 500000 的非复乘椭圆曲线 E，该算法验证了对所有 ℓ > 13 且不属于例外集合 𝒮 的情况，ρ_{E,ℓ} 是满射的，支持了猜想 1.1。
• 该算法识别出 ρ_{E,ℓ} 仅在 ℓ ∈ S 时不为满射，且由于 𝒮 的有限性以及 Frobenius 轨迹 a_p(E) 的非零性，S 是有限的。
• 获得了对 c(E) 的改进界：对所有 E，若 (ℓ, j_E) ∉ 𝒮 且 ℓ > 13，则 ρ_{E,ℓ} 是满射的，且所有 ℓ ≤ 13 的情况均显式检查。
• 对于 ℓ ≥ 5，ρ_{E,ℓ^∞} 不是满射当且仅当 ρ_{E,ℓ} 不是满射，从而简化了 ℓ-进满射性的研究。
• 在 Magma 中实现的代码能高效计算任意非复乘椭圆曲线 E 的集合 S，利用赋值条件和 𝔽₂ 上的线性代数来检测障碍。