[论文解读] Exponential ergodicity for SDEs and McKean-Vlasov processes with Lévy noise

Mingjie Liang, Mateusz B. Majka+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 44被引用 8

一句话总结

本文在一般的Lyapunov型漂移条件下，建立了由Lévy噪声驱动的SDE和McKean-Vlasov过程的指数遍历性。通过结合耦合方法、$L^1$-Wasserstein距离和Lyapunov函数，证明了即使对于一般纯跳Lévy过程（无需对称性或有限活动性），其在总变差距离和Wasserstein度量下几乎必然指数收敛于不变分布。

ABSTRACT

We study stochastic differential equations (SDEs) of McKean-Vlasov type with distribution dependent drifts and driven by pure jump Lévy processes. We prove a uniform in time propagation of chaos result, providing quantitative bounds on convergence rate of interacting particle systems with Lévy noise to the corresponding McKean-Vlasov SDE. By applying techniques that combine couplings, appropriately constructed $L^1$-Wasserstein distances and Lyapunov functions, we show exponential convergence of solutions of such SDEs to their stationary distributions. Our methods allow us to obtain results that are novel even for a broad class of Lévy-driven SDEs with distribution independent coefficients.

研究动机与目标

• 在一般的Lyapunov型漂移条件下，建立带Lévy噪声的SDE的指数遍历性。
• 将现有的基于耦合的方法扩展至一般纯跳Lévy过程，包括无对称性或有限活动结构的Lévy过程。
• 为带Lévy噪声的相互作用粒子系统建立时间一致的混沌传播，并量化其收敛到McKean-Vlasov极限的过程。
• 在对漂移和噪声的一般条件下，建立带分布依赖漂移的McKean-Vlasov SDE的指数遍历性。
• 为SDE和McKean-Vlasov过程提供在总变差距离和$L^1$-Wasserstein距离下的收敛速率的定量界。

提出的方法

• 结合耦合技术与$L^1$-Wasserstein距离分析向平衡态的收敛性。
• 应用Lyapunov函数控制漂移并确保过程的稳定性。
• 提出一种新颖的耦合构造，以考虑Lévy噪声的跳跃结构。
• 采用$L^1$-Wasserstein距离$W_1(\mu_1, \mu_2) = \inf_{\Pi} \int |x-y| \, d\Pi(x,y)$来度量分布收敛性。
• 通过粒子系统与McKean-Vlasov极限之间差值的界，建立混沌传播。
• 使用生成元$L[\mu]f(x)$作用于$f(x) = |x|^2$，推导出矩界并控制二阶矩。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般的Lyapunov型漂移条件下，能否为带Lévy噪声的SDE建立指数遍历性？
• RQ2 耦合方法能否扩展至一般纯跳Lévy过程，而不仅限于复合泊松或对称稳定$\alpha$-稳定情形？
• RQ3 带Lévy噪声的相互作用粒子系统收敛到McKean-Vlasov SDE的速率是多少？
• RQ4 在一般条件下，能否为带分布依赖漂移的McKean-Vlasov SDE证明指数遍历性？
• RQ5 此类过程在总变差距离和$L^1$-Wasserstein距离下的收敛速率的定量界是什么？

主要发现

• 在Lyapunov漂移条件$\langle x, b(x) \rangle \leq -\lambda |x|^2$下，带Lévy噪声的SDE在总变差距离和$L^1$-Wasserstein距离下均具有指数遍历性。
• 收敛速率为指数型：$\|P_t(x,\cdot) - \mu\|_{\text{Var}} \leq c_1(x) e^{-\lambda t}$ 与 $W_1(P_t(x,\cdot), \mu) \leq c_2(x) e^{-\lambda t}$，其中$\lambda > 0$。
• 对某个$\kappa_0 \in (0,1]$，条件$J(\kappa_0) > 0$足以保证遍历性，且远弱于先前的假设。
• 对于McKean-Vlasov SDE，建立了时间一致的混沌传播，其在$L^1$-Wasserstein距离下的界为$O(1/\sqrt{n})$。
• 在一般漂移与噪声条件下（包括$\int_{|z| \geq 1} |z| \nu(dz) < \infty$和$J(\kappa_0) > 0$），证明了McKean-Vlasov过程的指数遍历性。
• 通过生成元作用于$f(x) = |x|^2$推导出矩界，表明在适当的漂移与噪声条件下，有$\mathbb{E}|X_t|^2 \leq \mathbb{E}|X_0|^2 + C_4$。