[论文解读] Some 0/1 polytopes need exponential size extended formulations

Thomas Rothvoß|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 16被引用 19

一句话总结

本文证明了某些 0/1 多面体，包括拟阵多面体，需要指数规模的扩展形式，这意味着没有任何多项式规模的线性规划可以精确表示它们。关键结果表明，某些 n 维 0/1 多面体的扩展复杂度至少为 $2^{n/2 · (1-o(1))}$，在假设 $\mathbf{NP} \not\subseteq \mathbf{P_{/poly}}$ 的前提下，排除了即使使用任意实数系数，TSP 问题也存在紧凑形式的可能性。

ABSTRACT

We prove that there are 0/1 polytopes P that do not admit a compact LP formulation. More precisely we show that for every n there is a sets X \subseteq {0,1}^n such that conv(X) must have extension complexity at least 2^{n/2 * (1-o(1))}. In other words, every polyhedron Q that can be linearly projected on conv(X) must have exponentially many facets. In fact, the same result also applies if conv(X) is restricted to be a matroid polytope. Conditioning on NP not contained in P_{/poly}, our result rules out the existence of any compact formulation for the TSP polytope, even if the formulation may contain arbitrary real numbers.

研究动机与目标

• 解决关于是否存在任何 0/1 多面体族缺乏紧凑扩展形式这一开放问题。
• 证明某些 0/1 多面体的扩展复杂度随维度呈指数增长。
• 表明即使使用任意实数的非对称形式，也无法为这些多面体提供多项式规模的表示。
• 建立在 $\mathbf{NP} \subseteq \mathbf{P_{/poly}}$ 不成立的前提下，TSP 多面体不存在紧凑形式。
• 提出一种基于计数的新论证方法，绕过传统系数编码假设的限制。

提出的方法

• 构建从子集 $X \subseteq \{0,1\}^n$ 到编码长度多项式有界的四元组 $(\bar{A}, \bar{U}, \bar{b})$ 的单射映射。
• 利用扩展形式中体积最大的线性无关子系统，确保映射的单射性。
• 对扩展多面体的系数进行离散化，以在保持近似可行性的同时控制编码长度。
• 基于区间约束设计多项式时间验证程序，用于检查 $X$ 中的成员资格。
• 基于此类系统的数量应用计数论证，证明扩展复杂度的双指数下界。
• 将 TSP 决策问题归约为在扩展形式上的优化问题，以在 $\mathbf{NP} \not\subseteq \mathbf{P_{/poly}}$ 的假设下证明其不可解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在需要指数规模扩展形式的 0/1 多面体？
• RQ2 TSP 多面体能否通过使用任意实数系数的紧凑扩展形式表示？
• RQ3 是否可以为拟阵多面体构造出多项式规模的扩展形式？
• RQ4 n 维 0/1 多面体的最小扩展复杂度是多少？
• RQ5 NP-难问题存在紧凑形式是否与已知复杂度假设矛盾？

主要发现

• 存在 $n$ 维 0/1 多面体，其扩展复杂度至少为 $2^{n/2 \cdot (1-o(1))}$，证明了指数下界。
• 即使允许扩展形式使用任意实数（而不仅仅是有理数），该结果依然成立。
• 相同的指数下界也适用于拟阵多面体，表明该结果不仅限于一般 0/1 多面体。
• 在假设 $\mathbf{NP} \not\subseteq \mathbf{P_{/poly}}$ 的前提下，TSP 多面体不存在任何紧凑扩展形式。
• 该证明方法通过使用体积最大化和系数离散化，绕过了传统系数编码限制。
• 该构造产生了一个从子集 $X \subseteq \{0,1\}^n$ 到多项式编码线性系统的单射映射，意味着此类系统的数量存在双指数下界。