[论文解读] Extending relax-and-round combinatorial optimization solvers with quantum correlations

Maxime Dupont, Bhuvanesh Sundar|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 58被引用 4

一句话总结

本文提出了一种量子松弛-舍入（QRR）框架，通过在深度 $p=1$ 时利用QAOA的两点关联矩阵中的量子关联，增强了量子近似优化算法（QAOA）的性能。该方法在某些图上实现了与经典算法（如Goemans-Williamson）相当的性能，同时保持了无限深度下的最优性能保证，是一种无需额外量子资源成本的即插即用型量子增强方法。

ABSTRACT

We introduce a relax-and-round approach embedding the quantum approximate optimization algorithm (QAOA) with $p\geq 1$ layers. We show for many problems, including Sherrington-Kirkpatrick spin glasses, that at $p=1$, it is as accurate as its classical counterpart, and maintains the infinite-depth optimal performance guarantee of the QAOA. Employing a different rounding scheme, we prove the method shares the performance of the Goemans-Williamson algorithm for the maximum cut problem on certain graphs. We pave the way for an overarching quantum relax-and-round framework with performance on par with some of the best classical algorithms.

研究动机与目标

• 开发一种量子增强的松弛-舍入框架，以在不增加量子线路深度的前提下提升组合优化问题的近似比。
• 证明在特定图类上，QAOA在 $p=1$ 时可达到与经典松弛-舍入算法（如Goemans-Williamson）相当的性能。
• 证明QRR方法即使在低深度 $p$ 下，仍能保持QAOA的无限深度最优性能保证。
• 表明该方法无需额外的量子数据，仅依赖标准QAOA输出，可无缝集成到现有量子优化工作流中。

提出的方法

• 该方法在深度 $p \geq 1$ 时，利用QAOA执行过程中计算出的两点关联矩阵 $\mathsf{Z}^{(p)}$，作为原始问题的量子增强松弛。
• 在松弛-舍入过程中，使用关联矩阵 $\mathsf{Z}^{(p)}$ 替代经典邻接矩阵 $\mathsf{W}$ 用于舍入步骤。
• 舍入方案包括求解由 $\mathsf{Z}^{(p)}$ 定义的连续松弛问题，随后通过随机舍入生成二值解。
• 在与Goemans-Williamson比较时，采用相同的基于特征向量的舍入策略，当 $\mathsf{Z}^{(p)}$ 的主特征向量与 $\mathsf{W}$ 的主特征向量对齐时，二者表现等价。
• 该方法被证明在 $p \to \infty$ 时收敛至最优解，保持了QAOA的理论收敛保证。
• 通过利用顶点传递图中的对称性，证明最优修正向量 $\boldsymbol{u}_{\textrm{opt}} = \boldsymbol{0}$，从而在特定条件下确保与经典方法的等价性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 QAOA在 $p=1$ 时能否在某些图上实现与Goemans-Williamson等经典松弛-舍入算法相当的Max-Cut性能？
• RQ2 该量子松弛-舍入框架是否能在低线路深度下保持QAOA的无限深度最优性能保证？
• RQ3 量子关联矩阵 $\mathsf{Z}^{(p)}$ 是否足以在松弛-舍入过程中替代经典邻接矩阵 $\mathsf{W}$，而无需额外的量子资源开销？
• RQ4 在何种图对称性下，QRR方法能保持与经典松弛-舍入算法相同的性能？

主要发现

• 在 $p=1$ 时，QRR方法在包括Sherrington-Kirkpatrick自旋玻璃在内的许多问题上，实现了与经典松弛-舍入方法相同的近似比。
• 对于某些图上的Max-Cut问题，QRR方法的性能与Goemans-Williamson算法相当，后者保证了约 $\alpha \simeq 0.878$ 的近似比。
• 该方法在 $p \to \infty$ 时保持 $\alpha \to 1$ 的收敛性，从而保留了QAOA的理论性能保证。
• 数值实验表明，QRR在有限温度 $T$ 下系统性优于量子退火，优势随 $\approx T^{-3/2}$ 规律增长。
• 对于环图和完全图等顶点传递图，$\mathsf{Z}^{(p)}$ 的主特征向量与 $\mathsf{W}$ 的主特征向量对齐，当 $\boldsymbol{u}_{\textrm{opt}} = \boldsymbol{0}$ 时，确保与经典方法性能等价。
• 该框架仅需标准QAOA输出的量子数据，无需额外信息，使其成为近场量子优化中即插即用的增强方案。