[论文解读] Extending Representations of sl(2) to Witt and Virasoro algebras

Francisco J. Plaza Martín, Carlos Prieto|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文对 $\sigma\mathfrak{sl}(2)$ 的不可约权模何时可提升为 Witt 代数与 Virasoro 代数表示给出了完整的刻画。通过逐步在子代数 ${\operatorname{\bf Witt}}_{>}、{\operatorname{\bf Witt}}_{<}$ 和 ${\operatorname{\bf Witt}}$ 上进行提升，作者推导出 $L_i$ 在 Verma 模与对偶 Verma 模上兼容作用的显式公式，表明当 $\lambda \neq -1,-2$ 时，简单 Verma 模 $M(\lambda)$ 恰好存在两个 $\operatorname{\bf Vir}$-模结构，否则仅存在一个，且中心荷为零。

ABSTRACT

We study when an sl(2)-representation extends to a representation of the Witt and Virasoro algebras. We give a criterion for extendability and apply it to certain classes of weight sl(2)-modules. For all simple weight sl(2)-modules and those in any of the abelian Krull-Schmidt categories of weight modules whose unique simple object is a dense module, we fully characterize which ones admit extensions, and we obtain explicit expressions for all of them. We also give partial results in the same direction for the abelian categories of weight modules which have two and three simple objects.

研究动机与目标

• 确定 $\mathfrak{sl}(2)$ 的表示何时可延拓为 Witt 代数与 Virasoro 代数的表示。
• 对简单权 $\mathfrak{sl}(2)$-模向 $\operatorname{\bf Vir}$ 的所有可能延拓进行分类，特别是 Verma 模与对偶 Verma 模。
• 分析通过中间子代数 ${\operatorname{\bf Witt}}_{>}$ 与 ${\operatorname{\bf Witt}}_{<}$ 的延拓过程中的障碍结构。
• 利用超几何型函数 $P(\cdot, \cdot)$ 提供延拓作用的显式实现。

提出的方法

• 作者采用逐步延拓策略，分析包含链 $\mathfrak{sl}(2) \subset {\operatorname{\bf Witt}}_{>} \subset {\operatorname{\bf Witt}} \subset \operatorname{\bf Vir}$。
• 通过求解涉及矩阵系数的方程组，推导出将 $\mathfrak{sl}(2)$-表示延拓至 ${\operatorname{\bf Witt}}_{>}$ 的必要且充分条件。
• 利用参数化为 $\lambda$ 与 $j$ 的超几何型函数 $P(a,b)$，构造出 $L_i$ 在权向量上作用的显式公式。
• 检验 ${\operatorname{\bf Witt}}_{>}$ 与 ${\operatorname{\bf Witt}}_{<}$ 结构之间的相容性，以确定向完整 Witt 代数的延拓可能性。
• 在所有构造的 Virasoro 延拓中，将中心荷 $C$ 设为零，并验证模的最高权/最低权性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些简单权 $\mathfrak{sl}(2)$-模存在与 $\operatorname{\bf Vir}$-模结构相容的结构？
• RQ2 在这些延拓下，$L_i$ 在 Verma 模的权向量上的作用的显式公式是什么？
• RQ3 给定的 $\mathfrak{sl}(2)$-模最多可容纳多少个不同的 $\operatorname{\bf Vir}$-模结构？
• RQ4 将 $\mathfrak{sl}(2)$-表示延拓至 $\operatorname{\bf Vir}$ 的障碍是什么？它们如何从中间子代数中产生？
• RQ5 Verma 模 $M(\lambda)$ 与对偶 Verma 模 $\bar{M}(\lambda+2)$ 的延拓性质有何不同？

主要发现

• 当 $\lambda \neq 1,2,\ldots$ 时，Verma 模 $M(\lambda)$ 恰好存在两个相容的 ${\operatorname{\bf Witt}}_{<}$-模结构，分别由 $\rho_{<}^{\pm}(L_i)$ 给出，其显式公式涉及 $P(\cdot, \cdot)$。
• 当 $\lambda = -1,-2$ 时，两种结构重合，导致向 ${\operatorname{\bf Witt}}_{<}$ 的唯一延拓。
• Verma 模 $M(\lambda)$ 存在唯一的相容 ${\operatorname{\bf Witt}}$-模结构，由 $\rho_{<}^{-}(L_i)$ 给出，且该结构可唯一延拓为 $\operatorname{\bf Vir}$-模，满足 $\rho_{<}^{-}(C) = 0$。
• $M(\lambda)$ 上的 $\operatorname{\bf Vir}$-模结构是一个最高权模，其最高权为 $(0, -\frac{1}{2}\lambda)$。
• 对偶 Verma 模 $\bar{M}(\lambda+2)$ 通过 $\rho_{<}^{-}(L_i)$ 存在唯一的相容 ${\operatorname{\bf Witt}}$-模结构，且可唯一延拓为 $\operatorname{\bf Vir}$-模，满足 $\rho_{<}^{-}(C) = 0$，形成一个最低权模，其最低权为 $(0, -\frac{1}{2}(\lambda+2))$。
• 在三个简单对象的情形下（$\tau = n^2$），模 ${\mathbf{V}}^{(n)}$ 无法向 ${\operatorname{\bf Witt}}_{>}$、${\operatorname{\bf Witt}}$ 或 $\operatorname{\bf Vir}$ 进行非平凡延拓，而 $M(-n-1)$ 与 $\bar{M}(n+1)$ 存在延拓。