[论文解读] Extending weakly polynomial functions from high rank varieties

David Kazhdan, Tamar Ziegler|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2018

Polynomial and algebraic computation参考文献 9被引用 3

一句话总结

该论文证明了在可接受域上，高秩完全交代数簇上的低次弱多项式函数（次数 ≤ a）可延拓为全局多项式，且次数相同。证明依赖于一个关于高秩多项式态射纤维的新定理，表明其在多项式空间上的拉回映射是满射，该结论在大特征有限域及特征 > d 或 0 的代数闭域上成立。

ABSTRACT

Let $k$ be a field, $V$ a $k$-vector space and $X$ be a subset of $V $. A function $f:X o k$ is weakly polynomial of degree $\leq a$, if the restriction of $f$ on any affine subspace $L\subset X$ is a polynomial of degree $\leq a$. In this paper we consider the case when $X= \mathbb X (k)$ where $\mathbb X$ is a complete intersection of bounded codimension defined by a high rank polynomials of degrees $d, char(k)=0$ or $char (k)>d$ and either $k$ is algebraically closed, or $k=\mathbb F _q,q>ad$. We show that under these assumptions any $k$-valued weakly polynomial function of degree $ \leq a$ on $X$ is a restriction of a polynomial of degree $\leq a$ on $V$. Our proof is based on Theorem 1.11 on fibers of polynomial morphisms $P:\mathbb F _q^n o \mathbb F _q^m$ of high rank. This result is of an independent interest. For example it immediately implies a strengthening of the result of [4].

研究动机与目标

• 确定弱多项式函数在代数簇上可延拓为有界次数全局多项式的条件。
• 通过聚焦于高秩簇，解决当次数 a ≥ d 时延拓的非唯一性问题。
• 证明由高秩多项式定义的完全交满足延拓性质 $\star^k_a$。
• 证明关于高秩多项式关联的拉回映射 $\kappa_P$ 的基础性结果，即其在有限域和代数闭域上是满射。
• 通过基于秩的判据，将弱多项式函数理论推广至高余维完全交。

提出的方法

• 引入弱多项式函数的概念：其在任意仿射子空间上的限制均为次数 ≤ a 的多项式。
• 定义 $\star^k_a$ 性质：$X = \mathbb{X}(k)$ 上任意次数 ≤ a 的弱多项式函数可延拓为 $V$ 上次数 ≤ a 的全局多项式。
• 使用多项式 $P$ 的代数秩 $r_k(P)$ 衡量其复杂度，高秩意味着更强的结构丰富性。
• 证明定理 1.11：当 $P$ 具有足够高的秩时，在特征 > d 的有限域或特征 0 或 > d 的代数闭域上，拉回映射 $\kappa_P: \text{Hom}_{af}(W,V) \to \mathcal{P}_d(W)$ 是满射。
• 应用此满射性，构造显式族 $\mathbb{X}_n \subset \mathbb{V}_n$ 的高秩超曲面，满足 $\star_a^k$。
• 使用模型论和 Weil 风格的等分布论证，通过超积和维数理论，将有限域上的结果推广至代数闭域。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，代数簇 $X = \mathbb{X}(k)$ 上次数 ≤ a 的弱多项式函数可延拓为 $V$ 上次数 ≤ a 的全局多项式？
• RQ2 定义多项式 $P$ 的代数秩 $r_k(P)$ 如何影响延拓性质 $\star^k_a$？
• RQ3 在有限域和代数闭域上，高秩多项式是否保证拉回映射 $\kappa_P$ 在多项式空间上是满射？
• RQ4 能否在有界余维和高秩定义多项式的完全交上建立延拓性质 $\star^k_a$？
• RQ5 域的特征以及单位根的存在性在保证弱多项式函数延拓中起何作用？

主要发现

• 对于任意可接受域 $k$（满足 $|k| > ad$，存在阶 > 2a 的单位根，且 $\text{char}(k) > d$ 或 0），任意在高秩完全交 $\mathbb{X} \subset \mathbb{V}$ 上的次数 ≤ a 的弱多项式函数，均可延拓为 $\mathbb{V}$ 上次数 ≤ a 的全局多项式。
• 定理 1.11 表明，特征 > d 的有限域和特征 0 或 > d 的代数闭域满足性质 $c_\infty$，从而保证高秩多项式下拉回映射 $\kappa_P$ 的满射性。
• 由 $P_n(w_1,\dots,w_n) = \sum_{i=1}^n \prod_{j=1}^d x_j^j$ 定义的族 $\mathbb{X}_n \subset \mathbb{V}_n = (\mathbb{A}^d)^n$ 满足 $r(P_n) \geq n/d$，且对可接受 $k$ 满足 $\star_a^k$。
• 当 $P$ 高秩时，$\kappa_P^{-1}(Q)$ 的纤维维数为 $\dim(\text{Hom}_{af}(W,V)) - \dim(\mathcal{P}_d(W))$，表明 $\kappa_P$ 通常是光滑且满射的。
• 通过模型论紧致性及超积上的 Łoś 定理，将大特征有限域上 $\kappa_P$ 的满射性推广至代数闭域。
• 该结果强化了 [4] 的先前工作，并基于定义多项式的代数秩，为弱多项式函数的延拓提供了统一判据。