[论文解读] Extra extension properties of equidimensional holomorphic mappings: results and open questions

S. Ivashkovich|ArXiv.org|Oct 25, 2008

Holomorphic and Operator Theory参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文建立了复流形之间等维全纯映射的强延拓性质，特别是证明了从局部拟凸域到紧致、局部齐次凯勒流形的亚纯映射可全纯延拓至全纯凸包。关键贡献在于广义化了Carlson-Harvey猜想，表明若一个区域通过一个无固定点的离散作用群覆盖一个紧致凯勒流形，则只要该流形不包含有理曲线，该区域本身必为Stein流形。

ABSTRACT

Holomorphic (nondegenerate) mappings between complex manifolds of the same dimension are of special interest. For example, they appear as coverings of complex manifolds. At the same time they have very strong "extra" extension properties in compare with mappings in different dimensions. The aim of this paper is to put together the known results on this subject, give some perspective on the general strategy for future progress, prove some new results and formulate open questions.

研究动机与目标

• 统一并拓展已知的关于复流形之间等维全纯映射延拓性质的结果。
• 建立亚纯映射向紧致、局部齐次凯勒流形全纯延拓至全纯凸包的条件。
• 提出引导未来复几何研究的开放问题，特别是关于延拓、体积增长以及复结构形变的问题。
• 通过证明：若一个区域通过一个无固定点的离散作用群覆盖一个紧致凯勒流形，则只要该流形不含任何有理曲线，该区域本身必为Stein流形，从而广义化Carlson-Harvey猜想。

提出的方法

• 使用全纯凸包的概念，将来自Stein流形中区域的全纯映射延拓至其全纯凸包。
• 应用“圆盘凸性”概念，作为紧致性在延拓定理中的较弱替代。
• 使用由解析图定义的亚纯映射，其不确定点集的余维数至少为二。
• 依赖于具有紧致凯勒纤维的全纯纤维丛理论，以及在Stein余集上对亚纯截面的延拓。
• 通过积分形式如$(dd^c\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\norm{z}^2 + f^*ω)^k$来估计映射图像的体积，以控制增长与紧致性。
• 应用非凯勒复几何的结果，在适当条件下将亚纯映射延拓至非凯勒全空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 从局部拟凸域到紧致、局部齐次凯勒流形的亚纯映射在何种条件下可全纯延拓至其全纯凸包？
• RQ2 若一个全纯纤维丛的纤维为紧致凯勒流形，且其不确定点集的余集为Stein流形，则其亚纯截面是否可在整个底空间上全局延拓？
• RQ3 复流形中不同形式的圆盘凸性之间存在何种关系？它们是否等价？
• RQ4 是否存在从$\mathbb{C}^2$上的非单值区域到紧致复流形的全纯映射，能分离点？这对目标流形施加了何种限制？
• RQ5 从穿孔多圆柱体到紧致复空间的亚纯映射图像，其体积增长边界为何？特别是在等维情形下？

主要发现

• 若亚纯映射从局部拟凸域到紧致、局部齐次凯勒流形，在其不确定点集外局部为全纯微分同胚，则该映射可全纯延拓至其全纯凸包。
• 若一个区域$D$在Stein流形中，通过一个无固定点的离散群作用覆盖一个紧致凯勒流形$X$，则$D$为Stein流形当且仅当$X$不包含有理曲线。
• 若$X$为紧致凯勒流形且不包含有理曲线，则任一全纯映射$f:D\to X$可全纯延拓至$D$的全纯凸包$\hat{D}$，即存在全纯映射$\hat{f}:\hat{D}\to X$。
• 对于映射$f:\Delta^k\to X$进入紧致复空间$X$，若其微分范数有下界且像的体积有统一有界，则其图像的体积有界。
• 在等维情形$f:\Delta^n_*\to X^n$下，映射在环形区域$A^n(r,1)$上的像体积增长至多为$O(\log^{n/(n-1)}(1/r))$（$n\geq 2$），而当$n=1$时无此类有界。
• 满足图像上统一体积有界性及其在$k$-圆盘上限制的亚纯映射族，具有统一的全局体积有界性，从而确立了一种等度连续性与紧致性。