[论文解读] Extremal density for sparse minors and subdivisions

John Haslegrave, Jaehoon Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文建立了迫使稀疏、有界度数的二分图（具有温和可分性条件）出现子图的平均度数的渐近紧致界。通过结构图论与概率方法，证明了平均度数 $ (1+o(1))t^2 $ 足够使 $ t \times t $ 网格作为拓扑子图出现，且平均度数 $ (3/2+o(1))t $ 可迫使所有 $ t $ 个顶点的平面图作为子图出现，其中常数 $ 3/2 $ 为最优且对所有固定曲面上的图均具有普适性。

ABSTRACT

We prove an asymptotically tight bound on the extremal density guaranteeing subdivisions of bounded-degree bipartite graphs with a mild separability condition. As corollaries, we answer several questions of Reed and Wood on embedding sparse minors. Among others, $\bullet$ $(1+o(1))t^2$ average degree is sufficient to force the $t imes t$ grid as a topological minor; $\bullet$ $(3/2+o(1))t$ average degree forces every $t$-vertex planar graph as a minor, and the constant $3/2$ is optimal, furthermore, surprisingly, the value is the same for $t$-vertex graphs embeddable on any fixed surface; $\bullet$ a universal bound of $(2+o(1))t$ on average degree forcing every $t$-vertex graph in any nontrivial minor-closed family as a minor, and the constant 2 is best possible by considering graphs with given treewidth.

研究动机与目标

• 确定迫使具有温和可分性的稀疏、有界度数二分图出现子图的精确渐近平均度数阈值。
• 解决 Reed 与 Wood 关于稀疏子图嵌入的开放问题，特别是针对 $ t \times t $ 网格与平面图。
• 为迫使所有 $ t $ 个顶点图在任意非平凡子图封闭族中作为子图出现建立一个通用常数，并进行最优性分析。
• 统一并拓展先前关于稀疏图族中拓扑子图与子图的极值密度结果。

提出的方法

• 引入二分图的 $ \beta $-可分性概念，确保顶点移除后能限制连通分量的大小，从而支持子图的归纳构造。
• 应用概率与极值图论技术，证明图中平均度数 $ d $ 可保证包含任意 $ \beta $-可分图 $ H $ 的子图，其中 $ |H| \to (1-\beta)d $ 且 $ \bigtriangleup(H) \to \bigtriangleup $。
• 利用平面图与曲面嵌入图的结构，通过二分子图构造与面划分论证推导出紧致界。
• 应用关于色数与子图封闭族的已知结果，推导出形如 $ d_{\text{min}} = (2 - 2/\rho + o(1))t $ 的界限，其中 $ \rho $ 为子图封闭族的色数。
• 利用关于 $ K_t $-子图与拓扑子图的已知极值结果，校准渐近界中主导常数。
• 通过面环与 1-因子分解的双重计数论证，证明平面图中子图大小界限的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 迫使 $ t \times t $ 网格作为拓扑子图所需的最小平均度数是多少？
• RQ2 迫使所有 $ t $ 个顶点平面图作为子图的平均度数界中常数 $ 3/2 $ 是否最优？该结果是否可推广至任意固定曲面上可嵌入的图？
• RQ3 能否建立一个通用常数 $ c $，使得 $ ct $ 的平均度数可迫使任意非平凡子图封闭族中所有 $ t $ 个顶点图作为子图出现？$ c = 2 $ 是否为最优？
• RQ4 对于哪些图 $ G $ 满足 $ |2\alpha(G) - \alpha_2(G)| = o(|G|) $？这与极值子图密度有何关联？
• RQ5 对于所有子图封闭族 $ \mathcal{F} $，是否都有 $ d_{\text{min}} = (2 - 2/\chi(\mathcal{F}) + o(1))t $ 成立，特别是对不封闭于不相交并的族？

主要发现

• 平均度数 $ (1+o(1))t^2 $ 足够且必要以迫使 $ t \times t $ 网格作为拓扑子图出现。
• 平均度数 $ (3/2+o(1))t $ 可迫使所有 $ t $ 个顶点的平面图作为子图出现，且常数 $ 3/2 $ 为最优，该界限同样适用于任意固定曲面上可嵌入的图。
• 平均度数 $ (2+o(1))t $ 的通用界可迫使任意非平凡子图封闭族中所有 $ t $ 个顶点图作为子图出现，且常数 2 为最优，此结论由基于树宽的极值构造证明。
• 对于任意 $ \beta $-可分二分图 $ H $，满足 $ |H| \to (1-\beta)d $ 且 $ \bigtriangleup(H) \to \bigtriangleup $，图 $ G $ 中的平均度数 $ d $ 可保证其包含 $ H $ 的子图，且该界限为渐近紧致。
• 对于子图封闭族 $ \mathcal{F} $，界限 $ d_{\text{min}} = (2 - 2/\chi(\mathcal{F}) + o(1))t $ 成立，且对封闭于不相交并的族为紧致。
• 可无环嵌入图类满足 $ d_{\text{min}} = (8/5 + o(1))t $，表明其常数严格小于一般 $ 2t $ 的界限。