[论文解读] Extremal $H$-free planar graphs

Yongxin Lan, Yongtang Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文研究了排除给定图 $H$ 作为子图的极值平面图，重点在于最大化 $n$ 个顶点的 $H$-自由平面图中的边数。研究建立了充分条件，使得对所有 $n \geq |H|$，有 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H) = 3n-6$，完全确定了轮图和星图的 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$，并对 $(t,r)$-扇图提供了紧致界，而平面子3-正则图的情形仍为开放问题。

ABSTRACT

Given a graph $H$, a graph is $H$-free if it does not contain $H$ as a subgraph. We continue to study the topic of "extremal" planar graphs, that is, how many edges can an $H$-free planar graph on $n$ vertices have? We define $ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$ to be the maximum number of edges in an $H$-free planar graph on $n $ vertices. We first obtain several sufficient conditions on $H$ which yield $ex_{_\mathcal{P}}(n,H)=3n-6$ for all $n\ge |V(H)|$. We discover that the chromatic number of $H$ does not play a role, as in the celebrated Erdős-Stone Theorem. We then completely determine $ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$ when $H$ is a wheel or a star. Finally, we examine the case when $H$ is a $(t, r)$-fan, that is, $H$ is isomorphic to $K_1+tK_{r-1}$, where $t\ge2$ and $r\ge 3$ are integers. However, determining $ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$, when $H$ is a planar subcubic graph, remains wide open.

研究动机与目标

• 确定 $n$ 个顶点的 $H$-自由平面图中的最大边数，记为 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$。
• 识别图 $H$ 的充分条件，使得对所有 $n \geq |H|$，有 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H) = 3n - 6$。
• 当 $H$ 为轮图或星图时，完全确定 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$。
• 分析 $H$ 为 $(t,r)$-扇图（即 $K_1 + tK_{r-1}$，其中 $t \geq 2$，$r \geq 3$）时的极值函数。
• 识别开放问题，特别是关于平面子3-正则图的情形。

提出的方法

• 利用欧拉公式和面计数推导 $H$-自由平面图中边数的上界。
• 在 $H$-自由性约束下，分析顶点度数与面的关联，特别是 3-面。
• 应用结构图论方法，限制不同度数顶点所关联的 3-面数量。
• 通过递归构造极值图（如 $G_k$）以实现特定 $H$ 的紧致下界。
• 基于归纳法的证明技术，建立 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,K_1 + P_t)$ 在 $t \in \{4,5,6\}$ 时的上界。
• 利用 $G$ 是 $(K_1 + 3K_2)$-自由的性质，限制高阶顶点所关联的 3-面数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $H$ 的条件下，对所有 $n \geq |H|$，有 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H) = 3n - 6$ 成立？
• RQ2 当 $H$ 为轮图或星图时，$\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ 的精确值是什么？
• RQ3 当 $H = K_1 + tK_{r-1}$（即 $(t,r)$-扇图），$t \geq 2$，$r \geq 3$ 时，极值函数是什么？
• RQ4 能否为 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ 建立紧致界，当 $H$ 为平面子3-正则图时？
• RQ5 给定在此设定下色数不影响极值函数，$H$ 的色数如何影响 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$？

主要发现

• 对于 $H$-自由平面图，若 $H$ 是 $K_4$-自由且满足若干度数或色数条件（如 $\chi(H) = 4$ 且 $n \geq |H| + 2$），则 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H) = 3n - 6$ 成立。
• 当 $H$ 为轮图或星图时，极值函数 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ 完全确定，并导出了精确公式。
• 对于 $t \geq 2$，$r \geq 3$ 的 $(t,r)$-扇图 $H$，本文提供了紧致的上下界，表明 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H) = \Theta(n)$。
• 通过构造 $G_k$（含 $n = 24(k+1)$ 个顶点和 $67n/24 - 4$ 条边），表明当 $n$ 被 24 整除时，$\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,K_1 + 3K_2)$ 的下界可进一步改进。
• 通过归纳法与面计数，建立了 $t \in \{4,5,6\}$ 时 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,K_1 + P_t) \leq \frac{13(t-1)n}{4t-2} - \frac{12(t-1)}{2t-1}$ 的上界。
• 确定平面子3-正则图 $H$ 的 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$ 问题仍为开放问题。