[论文解读] Extremal Theta-free planar graphs

Yongxin Lan, Yongtang Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文确定了 $\theta_k$-free 平面图中最大边数的紧致上界，证明了 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_4) \leq 12(n-2)/5$，$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_5) \leq 5(n-2)/2$，以及 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6) \leq 18(n-2)/7$，且对无穷多个 $n$ 均达到等号。这些结果通过面计数和欧拉公式建立，等号在由 $K_5^-$ 和 6-面构成的特定极值平面图中实现。

ABSTRACT

Given a family $\mathcal{F}$, a graph is $\mathcal{F}$-free if it does not contain any graph in $\mathcal{F}$ as a subgraph. We study the topic of "extremal" planar graphs initiated by Dowden [J. Graph Theory 83 (2016) 213--230], that is, how many edges can an $\mathcal{F}$-free planar graph on $n$ vertices have? We define $ex_{_\mathcal{P}}(n,\mathcal{F})$ to be the maximum number of edges in an $\mathcal{F}$-free planar graph on $n $ vertices. Dowden obtained the tight bounds $ex_{_\mathcal{P}}(n,C_4)\leq15(n-2)/7$ for all $n\geq4$ and $ex_{_\mathcal{P}}(n,C_5)\leq(12n-33)/5$ for all $n\geq11$. In this paper, we continue to promote the idea of determining $ex_{_\mathcal{P}}(n,\mathcal{F})$ for certain classes $\mathcal{F}$. Let $Θ_k$ denote the family of Theta graphs on $k\ge4$ vertices, that is, graphs obtained from a cycle $C_k$ by adding an additional edge joining two non-consecutive vertices. The study of $ex_{_\mathcal{P}}(n,Θ_4)$ was suggested by Dowden. We show that $ex_{_\mathcal{P}}(n,Θ_4)\leq12(n-2)/5$ for all $n\geq 4$, $ex_{_\mathcal{P}}(n,Θ_5)\leq5(n-2)/2$ for all $n\ge5$, and then demonstrate that these bounds are tight, in the sense that there are infinitely many values of $n$ for which they are attained exactly. We also prove that $ex_{_\mathcal{P}}(n,C_6)\le ex_{_\mathcal{P}}(n,Θ_6)\le 18(n-2)/7$ for all $n\ge6$.

研究动机与目标

• 解决关于避免 $k \geq 4$ 的 $\Theta_k$ 图的极值平面图的开放问题，扩展 Dowden 在平面图 Turán 数方面的基础工作。
• 建立 $\mathcal{F}$-free 平面图中最大边数的紧致上界，其中 $\mathcal{F}$ 是一组 $\Theta$ 图。
• 通过构造无限多个达到等号的极值图，证明所推导的界在渐近意义下是紧致的。
• 探讨平面图 Turán 数与平面图反 Ramseys 数之间的联系，特别是通过关系式 $1 + \text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\mathcal{H}) \leq \text{ar}_{\mathcal{P}}(n,H) \leq \text{ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$，其中 $\mathcal{H} = \{H-e \mid e \in E(H)\}$。
• 提供达到边界的极值图的结构刻画，特别是由 $K_5^-$ 和 6-面构成的 $\Theta_6$-free 图。

提出的方法

• 应用欧拉公式 $n - 2 \geq e(G) - f$，将平面图 $G$ 的顶点数、边数和面数联系起来。
• 使用面计数技术，通过分析相邻面之间的边分布（特别是 $E_{i,j}$，即一个 $i$-面与一个 $j$-面共享的边的集合），对 $i$-面数 ($f_i$) 进行界定。
• 利用 $\Theta_k$-free 图不能包含某些面邻接模式的约束，例如在 $\Theta_6$-freeness 情况下，3-面不能与 5-面相邻。
• 利用 $K_5^-$-free 图不能包含特定子图构型（图 4b）的事实，限制 3-面的数量及其邻接关系，从而获得更紧的界。
• 通过从极值图中的 $K_5^-$ 子图中移除顶点，构造导出图 $G'$，以分析剩余面的结构，并在假设等号成立时导出矛盾。
• 结合面计数与边计数及度数约束，证明 $\delta(G') = 2$，且此类图必然包含一个 $\Theta_6$ 子图，与 $\Theta_6$-freeness 矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $n$ 个顶点的 $\Theta_4$-free 平面图中，最大边数是多少？该界是否紧致？
• RQ2 极值函数 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_5)$ 的渐近行为如何？该界在哪些 $n$ 上达到？
• RQ3 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6)$ 的紧致上界是什么？该界是否对无穷多个 $n$ 可达？
• RQ4 是否可以改进不等式 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6) \leq 18(n-2)/7$？$K_5^-$-free 图中哪些结构特性阻止了等号成立？
• RQ5 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,C_6)$ 是否有上界 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6)$，且在某些 $n$ 上是否等号成立？

主要发现

• 在 $n$ 个顶点的 $\Theta_4$-free 平面图中，最大边数满足 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_4) \leq 12(n-2)/5$，对所有 $n \geq 4$ 成立，且对无穷多个 $n$ 达到等号。
• $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_5) \leq 5(n-2)/2$ 对所有 $n \geq 5$ 成立，且对无穷多个 $n$ 达到等号。
• 对于 $\Theta_6$-free 平面图，不等式 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6) \leq 18(n-2)/7$ 对所有 $n \geq 6$ 成立，且该界在 $n = 9$ 时达到。
• 只有当极值图完全由 $K_5^-$ 和 6-面构成且无共享边时，$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6) \leq 18(n-2)/7$ 才可能达到等号，但此类图必然包含一个 $\Theta_6$ 子图，因此等号无法实现。
• 由于每个 $C_6$-free 图都是 $\Theta_6$-free 图，因此有 $\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,C_6) \leq 18(n-2)/7$，且在 $n = 9$ 时达到等号。
• 若存在一个达到 $18(n-2)/7$ 条边的极值 $\Theta_6$-free 图，则其导出图 $G'$ 必须满足最小度 $\delta(G') = 2$，且 3-面与 6-面交替排列，但此类图必然包含一个 $\Theta_6$ 子图，与 $\Theta_6$-freeness 矛盾。