[论文解读] Extremes and extremal indices for level set observables on hyperbolic systems

Meagan Carney, Mark Holland+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文建立了在双曲动力系统中，针对在曲线或子流形上取最大值的可观测量的极值定律和极值指数，表明极值的聚类现象源于子流形在动力系统下的几何自相交，而非周期性。研究推导出双曲环面自同构、西纳散射波和耦合扩张映射的非平凡极值指数，表明极值指数取决于极值集与稳定/不稳定流形的对齐方式。

ABSTRACT

Consider an ergodic measure preserving dynamical system $(T,X,μ)$, and an observable $ϕ:X o\mathbb{R}$. For the time series $X_n(x)=ϕ(T^{n}(x))$, we establish limit laws for the maximum process $M_n=\max_{k\leq n}X_k$ in the case where $ϕ$ is an observable maximized on a curve or submanifold, and $(T,X,μ)$ is a hyperbolic dynamical system. Such observables arise naturally in weather and climate applications. We consider the extreme value laws and extremal indices for these observables on Anosov diffeomorphisms, Sinai dispersing billiards and coupled expanding maps. In particular we obtain clustering and nontrivial extremal indices due to self intersection of submanifolds under iteration by the dynamics, not arising from any periodicity.

研究动机与目标

• 建立双曲动力系统中在曲线或子流形上取最大值的可观测量的极值定律。
• 在无周期性的情况下，研究非平凡极值指数的成因，重点关注子流形在动力系统下的几何自相交。
• 将极值理论从点状极值集扩展到更复杂的几何结构，如曲线和平面区域。
• 分析极值指数如何依赖于双曲系统中极值集与稳定和不稳定流形的对齐方式。
• 解决在非一致双曲系统中SRB测度与Lebesgue测度不等价时的挑战，特别是针对分形吸引子和非横截极值集的情况。

提出的方法

• 通过分析可观测量 $ \phi $ 在子流形 $ \mathcal{S} $ 上取最大值时的极大值过程 $ M_n = \max_{k \leq n} \phi(T^k(x)) $，采用确定性动力系统的极值理论。
• 使用可观测量 $ \phi(x) = -\log d_H(x, \mathcal{S}) $，其中 $ d_H $ 为到极值集 $ \mathcal{S} $ 的Hausdorff距离，以模拟水平集收缩至 $ \mathcal{S} $ 的过程。
• 通过极限分布 $ \mu(M_n \leq u_n(\tau)) \to e^{-\theta \tau} $ 推导极值指数 $ \theta $，其中 $ u_n(\tau) $ 的选取满足 $ n \mu(\phi > u_n) \to \tau $。
• 对于双曲环面自同构和西纳散射波，显式计算了极值指数，当极值集与不稳定流形对齐且包含周期轨道时，得到 $ \theta = 1 - \frac{1}{\lambda^2} $。
• 分析了 $ \mathcal{S} $ 与全局稳定/不稳定流形之间的横截性条件，并研究了对齐导致非平凡 $ \theta $ 的非典型情形。
• 将结果推广至耦合扩张映射，并讨论了在具有分形吸引子和非正则测度的非一致双曲系统中的挑战。

实验结果

研究问题

• RQ1 在双曲动力系统中，由在曲线上取最大值的可观测量生成的时间序列受何种极值定律支配？
• RQ2 当极值集为光滑曲线而非单一点时，极值指数如何表现？
• RQ3 非平凡极值指数是否可由子流形在动力系统下自相交引起，而与周期性无关？
• RQ4 在双曲系统中，极值指数如何依赖于极值集与稳定和不稳定流形的对齐方式？
• RQ5 在SRB测度不与Lebesgue测度绝对连续的非一致双曲系统中，极值定律如何变化？

主要发现

• 对于阿诺德猫映射，当 $ \phi(x) = -\log d(x, L) $，其中 $ L $ 为与不稳定方向对齐且包含2周期点的直线时，极值指数为 $ \theta = 1 - \frac{1}{\lambda^2} $，$ \lambda $ 为扩张率。
• 当极值集 $ L $ 不与稳定或不稳定方向对齐时，极值指数为 $ \theta = 1 $，表明极值超出无聚类现象。
• 在阿诺德猫映射上对10个实现的数值估计显示，与理论 $ \theta $ 值的偏差在 $ O(10^{-2}) $ 范围内，验证了其鲁棒性。
• 极值指数取决于极值集与全局稳定/不稳定流形之间的几何关系，而不仅仅是周期性。
• 在西纳散射波和耦合扩张映射等系统中，即使不存在周期轨道，子流形在迭代下的自相交仍会导致非平凡极值指数。
• 对于具有分形吸引子的非一致双曲系统，GEV极限律的存在性无法保证，其存在依赖于 $ \mu(\mathcal{S}_\epsilon) $ 在 $ \epsilon \to 0 $ 时的正则变异性，需进行精细的几何与测度论分析。