[论文解读] Extremes of Gaussian Random Fields with maximum variance attained over smooth curves

Peng Liu|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2016

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文推导了在最大方差在光滑曲线上取得的二维中心高斯随机场的上确界尾概率的精确渐近性质，扩展了先前针对唯一最大方差点的研究。基于广义 Piterbarg-Pickands 理论，本文建立了涉及广义 Pickands 和 Piterbarg 常数的精确尾部衰减速率，并将其应用于聚合分数阶布朗运动的极值问题。

ABSTRACT

Let $X(s,t), (s,t)\in E$, with $E\subset \mathbb{R}^2$ a compact set, be a centered two dimensional Gaussian random field with continuous trajectories and variance function $σ(s,t)$. Denote by $\mathcal{L}=\{(s,t): σ(s,t)=\max_{(s',t')\in E}σ(s',t')\}$. In this contribution, we derive the exact asymptotics of $\mathbb{P}\left(\sup_{(s,t)\in E}X(s,t)>u ight)$, as $u o\infty$, under condition that $\mathcal{L}$ is a smooth curve. We illustrate our findings by an application concerned with extremes of the aggregation of two independent fractional Brownian motions.

研究动机与目标

• 将现有的高斯随机场渐近理论扩展至非唯一最大方差点的情形。
• 分析当方差在光滑曲线上达到最大值而非单一点时，高斯场的上确界尾部行为。
• 将 Piterbarg-Pickands 框架推广至具有光滑结构的非唯一最大方差集合。
• 在相关性和方差函数满足一般正则变体假设的前提下，为上确界的尾部概率提供精确渐近表达式。
• 将理论结果应用于聚合分数阶布朗运动的极值问题，该问题源于 Shepp 统计学和长程依赖随机过程。

提出的方法

• 本文采用 Piterbarg-Pickands 引理的推广形式，以处理方差函数在光滑曲线上存在非唯一最大值的情形。
• 通过使用具有正则变体相关性和方差结构的二元高斯过程，对高斯场在最大方差曲线附近的局部行为进行建模。
• 该方法依赖于广义 Pickands 和 Piterbarg 常数，这些常数通过分数阶布朗运动及其上确界分布来定义。
• 通过在最大方差曲线的收缩邻域上使用尾部概率的统一展开，进行渐近分析，其中基于逆失效函数进行归一化。
• 关键技术工具是关于上确界尾部概率在紧集上缩放下的一致收敛性结果（引理 6.1），以确保极限的一致性。
• 推导过程涉及对底层分数阶布朗运动的赫斯特指数与最大方差曲线几何结构之间相互作用的细致分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 当方差在光滑曲线上而非单一点达到最大值时，高斯随机场的上确界尾部行为的精确渐近性质是什么？
• RQ2 广义 Pickands 和 Piterbarg 常数如何在这些场的尾部分布渐近中出现？
• RQ3 赫斯特指数和局部相关性结构在决定尾部概率衰减速率方面起什么作用？
• RQ4 与唯一最大方差点情形相比，最大方差集合的非唯一性如何影响渐近缩放？
• RQ5 所推导的渐近性质能否应用于实际随机过程，例如两个独立分数阶布朗运动的聚合？

主要发现

• 当 $ u \to \infty $ 时，高斯场的上确界尾部概率满足渐近关系 $ \mathbb{P}\left\{\sup_{(s,t)\in E}X(s,t)>u\right\} \sim C \cdot u^{2/\alpha_1} \Psi(u) $，其中 $ \Psi(u) $ 为标准正态尾部函数。
• 常数 $ C $ 显式地用涉及赫斯特指数 $ \alpha_1, \alpha_2 \in (0,2] $ 的广义 Pickands 和 Piterbarg 常数表示，其中 $ \alpha_1 $ 决定衰减速率。
• 当 $ \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha $ 时，渐近常数为 $ \frac{2^{3-2/\alpha}}{\alpha} (\mathcal{H}_\alpha)^2 \int_0^1 (1 - t^\alpha)^{1/\alpha - 1} dt $，其依赖于 Pickands 常数 $ \mathcal{H}_\alpha $ 的平方。
• 当 $ \alpha_1 = \alpha_2 = 1 $ 时，渐近常数简化为 $ 2 \widehat{\mathcal{H}}_1^{1,-1} $，其中涉及一个修正的 Piterbarg 常数。
• 当 $ \alpha_1 < 1 $ 时，渐近行为由项 $ u^{4/\alpha_1 - 2} \Psi(u) $ 主导，反映出比 $ \alpha_1 > 1 $ 情形更慢的衰减。
• 该结果被应用于 $ X(s+t) - X(s) $ 的上确界，表明基于所提出的通用框架，Shepp 型统计量的尾部分布渐近性质可被推导出来。