[论文解读] Faber--Walsh polynomials and polynomial approximation problems on two disjoint intervals

Olivier Sète, Jörg Liesen|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文引入了用于两个不相交的实区间的 Faber--Walsh 多项式，建立了其在多项式逼近中的渐近最优性。它提供了此类多项式的首个显式例子，并将其应用于分析求解厄米特不定矩阵线性系统的迭代方法的收敛性。

ABSTRACT

The Faber--Walsh polynomials are a direct generalization of the (classical) Faber polynomials from simply connected sets to sets with several components. The option of working with such sets leads to significantly more flexibility in practical applications. In this paper we analyze certain optimality properties of the Faber--Walsh polynomials (namely their asymptotic optimality) and derive the first, to our knowledge, explicit examples. We focus on Faber--Walsh polynomials for sets consisting of two disjoint real intervals and their application in the convergence theory of iterative methods for solving linear algebraic systems with hermitian indefinite matrices.

研究动机与目标

• 研究在具有多个连通分支的集合上 Faber--Walsh 多项式的渐近最优性。
• 将经典多项式逼近理论推广至两个不相交的实区间。
• 为这类集合提供 Faber--Walsh 多项式的显式构造。
• 将这些多项式应用于厄米特不定矩阵线性代数系统中迭代方法的收敛性分析。
• 为非单连通区域中改进逼近效果和求解器性能建立理论基础。

提出的方法

• 本文通过复分析和势论，将经典 Faber 多项式推广至具有多个连通分支的集合。
• 采用基于 Green 函数和两个不相交区间上平衡测度的 Faber--Walsh 构造方法。
• 该方法推导出在双连通集合上多项式逼近的渐近误差界。
• 将 Faber--Walsh 多项式的渐近行为与迭代求解器的收敛速率相联系。
• 利用对数势的极值性质和共形映射，刻画最优逼近的特征。
• 理论结果通过逼近论和矩阵分析中的工具推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 Faber--Walsh 多项式在两个不相交的实区间上的渐近最优性特征是什么？
• RQ2 如何为双连通集合显式构造 Faber--Walsh 多项式？
• RQ3 Faber--Walsh 多项式在不定线性系统迭代方法收敛理论中起什么作用？
• RQ4 Faber--Walsh 多项式与经典 Faber 多项式在逼近效率上相比如何？
• RQ5 这些多项式对求解厄米特不定矩阵的大规模线性系统有何影响？

主要发现

• 本文首次给出了两个不相交实区间上 Faber--Walsh 多项式的显式例子。
• 研究证明了 Faber--Walsh 多项式在这些集合上的多项式逼近中达到渐近最优性。
• 研究显示，厄米特不定系统中迭代方法的收敛性由这些多项式的渐近行为所决定。
• 该构造依赖于特定于双连通集合的 Green 函数和平衡测度。
• 结果表明，在给定条件下逼近误差以最优方式衰减。
• 该框架为通过定制化多项式预条件技术改善迭代求解器收敛性提供了理论依据。