[论文解读] Factoring with n+2 clean qubits and n-1 dirty qubits

Craig Gidney|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用 13

一句话总结

本文提出一种可逆经典电路设计，通过利用 n−1 个脏 ancillae（处于未知态且必须恢复的量子比特），将秀尔因数分解算法所需的洁净量子比特数量从 1.5n + O(1) 减少至 n + 2。该方法采用优化的算术操作（如模加法和缩放），仅使用最少的洁净辅助量子比特，实现了与先前方法相同的渐近电路深度和规模，同时在空间受限的量子架构中实现了显著的量子比特节省。

ABSTRACT

We present reversible classical circuits for performing various arithmetic operations aided by dirty ancillae (i.e. extra qubits in an unknown state that must be restored before the circuit ends). We improve the number of clean qubits needed to factor an n-bit number with Shor's algorithm from 1.5n+O(1) to n+2, assisted by n-1 dirty qubits, without increasing the asymptotic size or depth of the circuit.

研究动机与目标

• 将秀尔算法所需的洁净量子比特数量从 1.5n + O(1) 减少至 n + 2。
• 证明脏辅助量子比特可在可逆算术电路中被有效利用，以替代洁净辅助量子比特。
• 探讨最小化洁净量子比特数量作为设计指标的理论影响，即使这会增加门数或深度。
• 在洁净量子比特空间受限的条件下，实现秀尔算法中周期查找的更紧凑实现。
• 为未来构造在秀尔算法中实现 n + O(1) 总体量子比特使用量奠定基础。

提出的方法

• 设计仅使用 n+2 个洁净量子比特和 n−1 个脏量子比特的模算术操作（如模加法、偏移操作）的可逆经典电路。
• 通过受控分解实现算术操作，利用翻转枢纽和切换控制高效管理控制逻辑。
• 采用换位子控制技术重构控制依赖关系，实现辅助量子比特在子程序间的复用。
• 将模乘法构造成一系列缩放模加法的序列，每项操作均使用最少的洁净辅助量子比特，并依赖可用的脏量子比特。
• 应用电路图惯例，明确标注洁净与脏辅助量子比特需求（如标注为“3 个脏”），确保资源使用可追溯。
• 采用二补码表示法和模 2^n 的模算术，以简化电路设计，假设所有操作均在 n 位寄存器内循环。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过利用脏辅助量子比特，将秀尔算法所需的洁净量子比特数量减少至 1.5n + O(1) 以下？
• RQ2 在可逆算术电路中，用脏辅助量子比特替代洁净辅助量子比特时，电路深度和门数的权衡如何？
• RQ3 如何将模乘法分解为更小的操作，使其所需洁净量子比特更少，但仍能利用可用的脏量子比特？
• RQ4 哪些电路技术可实现脏量子比特的高效利用，而不增加整体算法的渐近复杂度？
• RQ5 通过战略性地使用脏辅助量子比特和模分解，是否可能在秀尔算法中实现 n + O(1) 的总体量子比特使用量？

主要发现

• 使用 n−1 个脏量子比特，将秀尔算法因数分解 n 位整数所需的洁净量子比特数量从 1.5n + O(1) 减少至 n + 2。
• 与先前构造相比，渐近电路深度和规模保持不变，尽管辅助量子比特管理复杂度增加，但可扩展性得以保持。
• 该构造中，除模乘法外，每项算术操作仅使用两个或更少的脏辅助量子比特；模乘法虽需更多，但仍处于 n−1 个脏量子比特的限制范围内。
• 整体电路共使用 2n + 1 个量子比特：1 个用于相位估计算法，n 个用于工作寄存器，n 个用于模乘法中的辅助量子比特。
• 该方法证明了脏辅助量子比特可在可逆算术中被有效利用，从而在空间受限条件下实现紧凑的电路设计。
• 未来改进如中国剩余定理或换位子控制技术可进一步减少辅助量子比特使用，但此处未采用，因其在因数分解中存在循环依赖。