[论文解读] Factorization homology of enriched $\infty$-categories

David Ayala, Francis, John+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文引入了在1-流形上对丰富化$(∞,1)$-范畴的分解同调，推广了Hochschild同调与拓扑Hochschild同调。它通过使用对称张量$∞$-范畴作为丰富化，建立了一个框架，表明在谱情形下，圆周上的分解同调计算出拓扑Hochschild同调，从而实现了高阶场论的范畴化积分形式化。

ABSTRACT

For an arbitrary symmetric monoidal $\infty$-category $\mathcal{V}$, we define the factorization homology of $\mathcal{V}$-enriched $(\infty,1)$-categories over (possibly stratified) 1-manifolds and study some of its basic properties. In the case of spectral enrichment, we show that the value of factorization homology on a circle is topological Hochschild homology.

研究动机与目标

• 将分解同调从En-代数推广到使用对称张量$∞$-范畴作为丰富化的丰富化$(∞,1)$-范畴。
• 建立一个范畴化分解同调的函子性框架，以捕捉Hochschild型不变量中固有的对称性与结构。
• 证明在谱丰富化情形下，圆周上的分解同调可恢复为拓扑Hochschild同调。
• 为高维情形下（特别是具有伴随关系的丰富化$(∞,n)$-范畴）的完整分解同调理论提供蓝图。

提出的方法

• 通过在带标记的丰富化$(∞,1)$-范畴上的右-拟函子定义分解同调，利用流形范畴上的分解系统。
• 利用cocartesian纤维化与分解系统的理论，构造一个左伴随，以建模分解同调函子。
• 为具有有限极限与合的对称张量$∞$-范畴引入笛卡尔丰富化分解同调。
• 应用Segal空间与丰富化$∞$-范畴的理论，将带标记的丰富化结构与分解同调联系起来。
• 将对称张量$∞$-范畴$\mathcal{V}$中的$E_1$-代数的分解同调构造为在圆盘分层流形上的余极限。
• 证明当$\mathcal{V}$为谱的$∞$-范畴时，分解同调在圆周上的取值等价于拓扑Hochschild同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将分解同调从En-代数扩展到丰富化$(∞,1)$-范畴？
• RQ2 对称张量$∞$-范畴作为丰富化在定义分解同调中起到什么作用？
• RQ3 在谱情形下，圆周上的分解同调如何恢复为拓扑Hochschild同调？
• RQ4 在丰富化$(∞,1)$-范畴之间的右-拟函子下，分解同调的函子结构是什么？
• RQ5 该框架能否推广到具有缺陷的高维场论？

主要发现

• 在谱丰富化下，圆周上的分解同调等价于拓扑Hochschild同调，为THH提供了几何解释。
• 分解同调的构造在右-拟函子意义下是函子性的，可推广到具备适当结构的丰富化$(∞,1)$-范畴。
• 对于具有有限极限与合的对称张量$∞$-范畴，笛卡尔丰富化分解同调是良好定义的，从而实现了稳定的同伦论框架。
• 该理论实现了积分的范畴化版本，其中输入为丰富化$(∞,1)$-范畴，输出为编码全局不变量的$∞$-范畴。
• 分解同调构造与Hochschild型不变量上的自然$T$-作用相容，几何地展现出对称性。
• 该框架推广了经典Hochschild同调，并通过cyclic trace与代数K-理论建立了直接联系，自然地延伸至拓扑设定。