[论文解读] Fair Division of a Graph

Sylvain Bouveret, Kataŕına Cechlárová+3 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2017

Game Theory and Voting Systems被引用 10

一句话总结

本文提出了一种针对由图约束的不可分物品的公平分配框架，其中每位代理的分配必须构成一个连通子图。研究证明，对于树形结构的图，最大化最小份额（MMS）分配——即确保每位代理获得至少其公平份额——始终存在且可高效计算；而在环状图上，此类分配可能不存在，如一个包含8个顶点的反例所示。

ABSTRACT

We consider fair allocation of indivisible items under an additional constraint: there is an undirected graph describing the relationship between the items, and each agent's share must form a connected subgraph of this graph. This framework captures, e.g., fair allocation of land plots, where the graph describes the accessibility relation among the plots. We focus on agents that have additive utilities for the items, and consider several common fair division solution concepts, such as proportionality, envy-freeness and maximin share guarantee. While finding good allocations according to these solution concepts is computationally hard in general, we design efficient algorithms for special cases where the underlying graph has simple structure, and/or the number of agents -or, less restrictively, the number of agent types- is small. In particular, despite non-existence results in the general case, we prove that for acyclic graphs a maximin share allocation always exists and can be found efficiently.

研究动机与目标

• 通过图结构形式化不可分物品在连通性约束下的公平分配问题。
• 研究在比例性、无 envy 性和最大化最小份额（MMS）保障下，公平分配的存在性与计算复杂度。
• 识别在一般情况下为NP难问题但可高效计算公平分配的图结构。
• 刻画MMS分配存在的条件，尤其关注图拓扑结构的影响。

提出的方法

• 将问题建模为图G、代理N和效用函数U的连通公平分配（CFD）实例。
• 对可能的MMS值进行二分查找，并使用子程序A计算满足MMS阈值的连通分配。
• 将可分情况下的经典最后削减者程序改编用于树形图上的MMS分配构造。
• 通过连通划分的结构分析，证明树形图上MMS分配的存在性。
• 在8个顶点的环上构造反例，证明在某些效用分布下MMS分配不存在。
• 通过代理类型（相同偏好）减少复杂度，使路径和树形图上的高效算法成为可能。

实验结果

研究问题

• RQ1 当物品依赖图是树时，最大化最小份额分配是否始终存在？
• RQ2 当图是路径且代理被划分为少量类型时，能否高效计算无 envy 或比例分配？
• RQ3 是否存在MMS分配不存在的图结构（如环）？
• RQ4 在连通性约束下，寻找公平分配的计算复杂度如何？
• RQ5 当代理类型数量较少时，即使代理数量庞大，能否设计出公平分配的高效算法？

主要发现

• 当底层图是树时，MMS分配始终存在，并且可在多项式时间内计算。
• 对于被划分为常数个类型的路径，比例分配和完全无 envy 分配均可高效计算。
• 即使在路径上，寻找比例分配也是NP难的；完全无 envy 分配在路径和星形图上也均为NP难。
• 在8个顶点的环上，MMS分配不存在，如一个包含四个代理和对称效用分布的具体反例所示。
• 该环的反例比无约束设置下已知的MMS不存在示例更简单，提供了更清晰的直观理解。
• 树形图上MMS的算法是最后削减者程序的改编，利用了连通性以及对MMS值的二分查找。