[论文解读] Family Floer cohomology and mirror symmetry

Mohammed Abouzaid|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用 38

一句话总结

本文通过使用家族弗洛尔上同调处理瞬子修正与收敛性问题，从具有光滑拉格朗日子李群纤维化的辛流形的弗洛尔范畴构造出镜像空间上扭曲凝聚层的导出范畴的镜像函子。关键贡献在于通过 $A_\infty$-模与 $\alpha_X$-扭曲层在对偶空间上的实现，系统性地、基于几何动机地构造镜像作为对象的模空间。

ABSTRACT

Ideas of Fukaya and Kontsevich-Soibelman suggest that one can use Strominger-Yau-Zaslow's geometric approach to mirror symmetry as a torus duality to construct the mirror of a symplectic manifold equipped with a Lagrangian torus fibration as a moduli space of simple objects of the Fukaya category supported on the fibres. In the absence of singular fibres, the construction of the mirror is explained in this framework, and, given a Lagrangian submanifold, a (twisted) coherent sheaf on the mirror is constructed.

研究动机与目标

• 为根据 SYZ 与同调镜像对称猜想所建议的，将镜像流形几何地、系统性地构造为弗洛尔范畴中简单对象的模空间。
• 通过使用延续映射与刚性解析方法，克服弗洛尔上同调中由焦散与奇点引起的收敛性与奇点问题。
• 从具有光滑拉格朗日子李群纤维化的辛流形的导出弗洛尔范畴，系统性地构造一个到镜像空间上 $\alpha_X$-扭曲凝聚层的导出范畴的镜像函子。
• 通过 $A_\infty$-预层与扭曲层结构，将镜像实现为支撑在纤维上的对象空间。

提出的方法

• 使用家族弗洛尔上同调，为每个拉格朗日子流形关联一个镜像上的层，数据定义在三角剖分底空间 $Q$ 上。
• 通过使用延续映射与弗洛尔数据之间的链同伦，确保在刚性解析意义下的收敛性。
• 通过在底空间路径的立方体上使用参数化延续映射，在层 $\mathcal{O}^{\alpha_X}_{\mathcal{A}}$ 上构造 $A_\infty$-模结构。
• 通过限制到开覆盖上的弗洛尔数据定义过渡函数与粘合数据，确保在复合下的一致性。
• 使用亚当斯构造，将三角剖分中的 $r$-单体对应到 $r-1$-维路径立方体，从而实现延续映射的归纳构造。
• 在镜像空间 $Y$ 上实现一个扭曲的 $A_\infty$-预层结构，其中扭曲 $\alpha_X$ 来自纤维化的单值性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何几何地构造具有光滑拉格朗日子李群纤维化的辛流形的镜像，作为弗洛尔范畴中对象的模空间？
• RQ2 在纤维化中存在焦散与奇点的情况下，如何使弗洛尔上同调具有良好的定义性与收敛性？
• RQ3 能否使用弗洛尔理论数据，系统性地从弗洛尔范畴构造出到镜像空间上凝聚层导出范畴的镜像函子？
• RQ4 瞬子修正与墙穿越在作为对象模空间的镜像构造中起什么作用？
• RQ5 如何利用 $A_\infty$-结构与扭曲层数据，以与同调镜像对称相容的方式实现镜像函子？

主要发现

• 该构造在镜像空间 $Y$ 上产生一个 $\alpha_X$-扭曲的 $A_\infty$-预层的 $\mathcal{O}$-复形，其定义了完美复形的 $A_\infty$-范畴中的一个对象。
• 映射 $L \mapsto \mathcal{L}$ 给出从 $X$ 的导出弗洛尔范畴到 $Y$ 上 $\alpha_X$-扭曲凝聚层的导出范畴的良定义镜像函子。
• 通过选择足够精细的三角剖分与通用的参数化数据，实现了延续数据在刚性解析意义下的收敛性。
• 该 $A_\infty$-模的结构映射在乘以 $\exp(\alpha_X(ijk))$ 意义下保持交换，确保与扭曲的一致性。
• 该构造在延续映射下保持不变，从而避开了拉格朗日子流形投影到基空间时由焦散引起的困难。
• 该方法以几何且函子性的方式实现了同调镜像对称猜想，无需对镜像函子进行任意构造。