[论文解读] Fast and Smooth Interpolation on Wasserstein Space

Sinho Chewi, Julien Clancy+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2020

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 37被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种新颖的方法，通过将问题简化为通过Monge映射在欧几里得空间中的样条插值，实现在Wasserstein空间上概率测度的平滑、基于粒子流的插值。该方法首次在Wasserstein空间上实现了近似保证，并为单细胞基因组学等应用提供了高效且可解释的轨迹。其关键贡献在于使用薄板样条插值方法对测度值曲面进行建模。

ABSTRACT

We propose a new method for smoothly interpolating probability measures using the geometry of optimal transport. To that end, we reduce this problem to the classical Euclidean setting, allowing us to directly leverage the extensive toolbox of spline interpolation. Unlike previous approaches to measure-valued splines, our interpolated curves (i) have a clear interpretation as governing particle flows, which is natural for applications, and (ii) come with the first approximation guarantees on Wasserstein space. Finally, we demonstrate the broad applicability of our interpolation methodology by fitting surfaces of measures using thin-plate splines.

研究动机与目标

• 开发一种在Wasserstein空间上对概率测度进行平滑、轨迹感知插值的方法，同时保持粒子流的解释性。
• 克服先前P样条方法的局限性，这些方法缺乏唯一的粒子轨迹且计算成本高。
• 为Wasserstein空间上的测度值插值提供首次近似保证。
• 实现在单细胞基因组学中高效且可解释的个体细胞轨迹重建。
• 将方法扩展至使用薄板样条插值的曲面拟合，以实现多维测度插值。

提出的方法

• 通过在连续测度之间构建Monge映射，将Wasserstein空间上的插值问题简化为标准的欧几里得三次样条拟合。
• 利用累积分布函数（CDF）及其逆函数的复合来定义测度之间的传输映射，确保单调性并获得Monge解。
• 对于高斯测度，通过分别对均值和标准差应用薄板样条插值来计算插值后的分位数。
• 粒子轨迹由传输映射的样条插值得到，确保从初始位置到插值位置的平滑、确定性路径。
• 该方法利用现有的欧几里得样条工具箱，仅需N次Monge映射评估和标准样条拟合即可实现快速计算。
• 对于非高斯测度，方法依赖于经验CDF及其逆函数来定义传输映射，假设测度之间绝对连续。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否构建平滑、确定性的粒子轨迹，以在Wasserstein空间上插值给定的概率测度？
• RQ2 如何确保插值曲线既反映最优传输的几何结构，又保持计算效率？
• RQ3 在Wasserstein空间中，测度值插值的近似保证是什么？
• RQ4 我们能否将该方法扩展至使用薄板样条插值测度曲面？
• RQ5 为何现有P样条方法无法产生唯一的粒子轨迹，这一问题如何解决？

主要发现

• 所提方法产生Monge解，确保每个初始粒子在插值过程中具有唯一且平滑的轨迹。
• 该方法首次在Wasserstein空间插值中实现了已知的近似保证，提供了收敛性的理论界。
• 对于高斯测度，任意点的插值分布完全由对均值和标准差分别应用的薄板样条插值决定，分位数由 $ m_x + \Phi^{-1}(\alpha) \cdot |s_x| $ 给出。
• 与先前的P样条方法相比，计算成本显著降低，仅需N次Monge映射评估和标准样条拟合。
• 在单细胞数据和气象站温度分布的实验结果表明，插值过程平滑且可解释，具有清晰的粒子流解释。
• 该方法成功实现了数学上严谨且实际可部署的轨迹重建，优于非平滑或非唯一性的替代方法。