[论文解读] Fast Approximations for Metric-TSP via Linear Programming

Chandra Chekuri, Kent Quanrud|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过使用割-稀疏化技术对2匹配LP松弛解进行稀疏化，提出了一种更快的度量TSP近似算法。该算法在$\tilde{O}(m/\epsilon^2 + n^{1.5}/\epsilon^3)$时间内实现了$(1+\epsilon)$-近似TSP回路，显著优于以往显式度量下的$\tilde{O}(n^{2.5})$界和隐式度量下的$\tilde{O}(\min\{m^{1.5}, mn + n^{2.5}\})$界。

ABSTRACT

We develop faster approximation algorithms for Metric-TSP building on recent, nearly linear time approximation schemes for the LP relaxation [Chekuri and Quanrud, 2017]. We show that the LP solution can be sparsified via cut-sparsification techniques such as those of Benczur and Karger [2015]. Given a weighted graph $G$ with $m$ edges and $n$ vertices, and $ε> 0$, our randomized algorithm outputs with high probability a $(1+ε)$-approximate solution to the LP relaxation whose support has $\operatorname{O}(n \log n /ε^2)$ edges. The running time of the algorithm is $\operatorname{Õ}(m/ε^2)$. This can be generically used to speed up algorithms that rely on the LP. For Metric-TSP, we obtain the following concrete result. For a weighted graph $G$ with $m$ edges and $n$ vertices, and $ε> 0$, we describe an algorithm that outputs with high probability a tour of $G$ with cost at most $(1 + ε) \frac{3}{2}$ times the minimum cost tour of $G$ in time $\operatorname{Õ}(m/ε^2 + n^{1.5}/ε^3)$. Previous implementations of Christofides' algorithm [Christofides, 1976] require, for a $\frac{3}{2}$-optimal tour, $\operatorname{Õ}(n^{2.5})$ time when the metric is explicitly given, or $\operatorname{Õ}(\min\{m^{1.5}, mn+n^{2.5}\})$ time when the metric is given implicitly as the shortest path metric of a weighted graph.

研究动机与目标

• 开发适用于稀疏图中边数$m$和顶点数$n$的更快度量TSP近似算法。
• 解决Christofides算法中的计算瓶颈，特别是显式度量下最小费用完美匹配所需的$\tilde{O}(n^{2.5})$时间。
• 利用度量TSP LP松弛的近乎线性时间近似方案，以实现更快的整体运行时间。
• 在显式和隐式度量设置下，实现高效计算$(1+\epsilon)$-近似TSP回路，尤其当度量为稀疏图的最短路径度量时。

提出的方法

• 应用割-稀疏化技术（如Benczur-Karger）将2匹配LP松弛解的支持大小减少至$O(n \log n / \epsilon^2)$条边。
• 使用Chekuri和Quanrud（2017a）提出的近乎线性时间近似方案，在$\tilde{O}(m / \epsilon^2)$时间内计算2匹配LP的$(1+\epsilon)$-近似解。
• 通过稀疏化LP解，获得一个新的可行解$y$，其支持大小小，且目标值在最优LP值的$(1+\epsilon)^2$以内。
• 在稀疏化图上应用$(1+1/n)$-近似$T$-连接算法，以$\tilde{O}(n^{1.5}/\epsilon^3)$时间找到最小费用$T$-连接。
• 通过组合最小生成树和$T$-连接构造最终的TSP回路，确保总成本不超过$(1+\epsilon)\cdot \frac{3}{2}$倍最优TSP成本。
• 将所有步骤整合为单一算法，总运行时间为$\tilde{O}(m/\epsilon^2 + n^{1.5}/\epsilon^3)$，实现对TSP的$(1+\epsilon)$-近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 度量TSP的LP松弛能否被稀疏化，以减少非零条目数量，同时保持近似质量？
• RQ2 能否通过利用快速LP近似和稀疏化技术，克服Christofides算法中$\tilde{O}(n^{2.5})$的瓶颈？
• RQ3 对于稀疏图，能否在$ n $的亚二次时间内实现$(1+\epsilon)$-近似TSP回路？
• RQ4 割-稀疏化技术能否有效应用于2匹配LP松弛，以实现更快的TSP近似？
• RQ5 稀疏化后的LP解是否保留了足够的结构特性，以支持低代价的高效$T$-连接计算？

主要发现

• 该算法在$\tilde{O}(m / \epsilon^2)$时间内计算出2匹配LP松弛的$(1+\epsilon)$-近似解，支持大小为$O(n \log n / \epsilon^2)$。
• 最终的TSP回路成本最多为最优TSP回路成本的$(1+\epsilon) \cdot \frac{3}{2}$倍。
• 总运行时间为$\tilde{O}(m / \epsilon^2 + n^{1.5} / \epsilon^3)$，优于显式度量下先前的$\tilde{O}(n^{2.5})$界。
• 对于隐式度量（稀疏图的最短路径度量），新方法的运行时间为$\tilde{O}(\min\{m^{1.5}, mn + n^{2.5}\})$，优于先前的界。
• 稀疏化步骤确保$T$-连接计算高效，因为支持大小被减少至$O(n \log n / \epsilon^2)$，从而支持快速$T$-连接算法。
• 该方法实现了对$m$的近乎线性依赖和对$n$的亚二次依赖，使其在大规模稀疏图上具有可扩展性。