[论文解读] Faster Coherent Quantum Algorithms for Phase, Energy, and Amplitude Estimation

Patrick Rall|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 64被引用 34

一句话总结

本文提出了一种更快、更简单的相干量子算法，用于相位、能量和幅值估计，避免使用量子傅里叶变换和中值放大。通过块编码和奇异值变换，算法一次估计一位，显著降低了查询复杂度和辅助量子比特需求，在保持相干性的同时，实现了相较于教科书相位估计算法高达14倍的加速，适用于量子梅特罗波利斯采样和贝叶斯推断等应用。

ABSTRACT

We consider performing phase estimation under the following conditions: we are given only one copy of the input state, the input state does not have to be an eigenstate of the unitary, and the state must not be measured. Most quantum estimation algorithms make assumptions that make them unsuitable for this 'coherent' setting, leaving only the textbook approach. We present novel algorithms for phase, energy, and amplitude estimation that are both conceptually and computationally simpler than the textbook method, featuring both a smaller query complexity and ancilla footprint. They do not require a quantum Fourier transform, and they do not require a quantum sorting network to compute the median of several estimates. Instead, they use block-encoding techniques to compute the estimate one bit at a time, performing all amplification via singular value transformation. These improved subroutines accelerate the performance of quantum Metropolis sampling and quantum Bayesian inference.

研究动机与目标

• 在严格的相干性约束下，开发概念上和计算上更简单的相位、能量和幅值估计算法。
• 消除在相干估计中对量子傅里叶变换和量子排序网络用于中值放大的依赖。
• 在保持叠加态估计高精度的同时，降低查询复杂度和辅助量子比特开销。
• 通过避免昂贵的子程序，实现在量子梅特罗波利斯采样、贝叶斯推断和量子矩阵求逆中的实际加速。

提出的方法

• 算法使用块编码技术表示非酉矩阵，通过酉操作操控奇异值。
• 应用奇异值变换，对奇异值的多项式进行处理，实现无需额外辅助量子比特的估计概率放大。
• 通过使用相干版本的哈达玛测试，逐位进行估计，放大通过受控奇异值变换实现。
• 通过引入一个舍入承诺，避免使用中值放大：当承诺成立时，输出为确定性结果；否则，提供合理的非确定性估计。
• 对于幅值估计，算法构建一个哈密顿量，其本征态即为输入态，从而实现对a²的非破坏性直接估计。
• 该框架将相位、能量和幅值估计统一于单一的块编码和奇异值变换框架下，最小化辅助量子比特和查询开销。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不使用量子傅里叶变换或中值放大、同时保持高精度和低资源开销的前提下，实现相干相位估计？
• RQ2 当仅有一个非本征态输入副本时，相干相位估计中可实现的最小辅助量子比特数量和查询复杂度是多少？
• RQ3 如何利用奇异值变换实现相干且非破坏性的量子幅值估计？
• RQ4 相干叠加估计的根本限制是什么？可通过舍入承诺或概率保证加以解决吗？
• RQ5 该框架能否扩展以实现更快、更低开销的幅值估计，而无需迭代修复或对幅值边界的先验知识？

主要发现

• 所提出的算法在查询复杂度方面，相较于教科书相位估计算法，性能最高可提升14倍至10倍，且辅助量子比特需求显著降低。
• 算法避免了量子傅里叶变换和中值放大，取而代之的是使用块编码和奇异值变换，实现高效的幅值放大。
• 对于非破坏性幅值估计，该方法仅需O(n + 1)个辅助量子比特，而以往方法需O(n log(δ⁻¹))，这是由于去除了中值放大。
• 该算法以高概率直接估计a²，避免了相干计算arcsin(a)的需要，从而减少了辅助量子比特开销。
• 当舍入承诺成立时，算法执行所需的确定性变换(1)；否则，提供合理的非确定性估计。
• 该框架在幅值估计方面相较于以往方法实现了适度的常数因子加速，具备更好的适应性，且无需对幅值下限提出要求。