[论文解读] Finding Planted Cliques in Sublinear Time

Jay Mardia, Hilal Asi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文提出了在 Erdős-Rényi 随机图中恢复一个植入团的简单亚线性时间算法，利用团补全性质，当 $k = \Theta(\sqrt{n \log n})$ 时，运行时间低至 $\widetilde{O}(n^{3/2})$。它证明了当 $k = \omega(\sqrt{n})$ 时，无需检查整个图即可实现恢复，并通过信息论下界证明了当 $k = \Omega(n^{2/3})$ 时这些算法的最优性。

ABSTRACT

We study the planted clique problem in which a clique of size k is planted in an Erdos-Renyi graph G(n,1/2) and one is interested in recovering this planted clique. It is widely believed that it exhibits a statistical-computational gap when computational efficiency is equated with the existence of polynomial time algorithms. We study this problem under a more fine-grained computational lens and consider the following two questions. 1. Do there exist sublinear time algorithms for recovering the planted clique? 2. What is the smallest running time any algorithm can hope to have? We show that because of a well known clique-completion property, very elementary sublinear time recovery algorithms do indeed exist for clique sizes k = ω(\sqrt{n}). This points to a qualitatively stronger statistical-computational gap. The planted clique recovery problem can be solved without even looking at most of the input above the Θ(\sqrt{n}) threshold and cannot be solved by any efficient algorithm below it. A running time lower bound for the recovery problem follows easily from the results of [RS19], and this implies our recovery algorithms are optimal whenever k = Ω(n^{2/3}). However, for k = o(n^{2/3}) there is a gap between our algorithmic upper bound and the information-theoretic lower bound implied by [RS19]. With some caveats, we show stronger detection lower bounds based on the Planted Clique Conjecture for a natural but restricted class of algorithms. The key idea is to relate very fast sublinear time algorithms for detecting large planted cliques to polynomial time algorithms for detecting small planted cliques.

研究动机与目标

• 研究亚线性时间算法是否能在 Erdős-Rényi 图 $G(n, \frac{1}{2})$ 中恢复一个植入团。
• 确定任何算法在恢复植入团时可达到的最小运行时间，以及该界是否紧致。
• 探讨在考虑亚线性时间算法时，植入团问题中的统计-计算间隙是否比以往认为的要大。
• 基于植入团猜想建立恢复的下界，特别是针对较大的团大小。

提出的方法

• 提出算法 2，其运行时间为 $\widetilde{O}(n^{3/2})$，当 $k = \Theta(\sqrt{n \log n})$ 时，以高概率恢复团。
• 引入算法 3，作为扩展，实现 $\widetilde{O}\left(\left(\frac{n}{k}\right)^3 + n\right)$ 的运行时间，适用于更大的团。
• 设计算法 4，其运行时间为 $O\left(\frac{n^2}{\frac{k^2}{n} \exp\left(\frac{k^2}{24n}\right)}\right)$，适用于 $k = \omega(\sqrt{n})$ 且 $k = o(\sqrt{n \log n})$ 的情况。
• 以团补全性质为核心机制：若已采样团的子集，则可通过邻接点交集恢复其余部分。
• 应用切尔诺夫不等式和子采样集中性引理，控制随机采样步骤中的失败概率。
• 采用向导辅助分析和条件概率界，证明当采样集合包含足够比例的植入团时，团补全步骤以高概率成功。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $k = \omega(\sqrt{n})$ 时，是否存在亚线性时间算法可在 $G(n, \frac{1}{2})$ 中恢复植入团？
• RQ2 任何算法在恢复植入团时可达到的最小运行时间是多少？该界是否紧致？
• RQ3 即使团较大，是否可基于植入团猜想推导出更强的恢复下界？
• RQ4 在 $k$ 较大时，植入团问题中检测与恢复之间是否存在细粒度的计算复杂度分离？
• RQ5 是否可利用团补全性质设计高效的亚线性时间恢复算法？

主要发现

• 当 $k = \Theta(\sqrt{n \log n})$ 时，算法 2 的运行时间为 $\widetilde{O}(n^{3/2})$，并以高概率恢复植入团。
• 当 $k = \Omega(n^{2/3})$ 时，所提算法达到信息论下界 $\Omega\left(\frac{n^2}{k^2} + n\right)$，证明了其最优性。
• 当 $k = \Omega(n^{2/3})$ 时，恢复算法的运行时间稳定在 $\widetilde{\Theta}(n)$，意味着进一步增大 $k$ 不会使恢复更快。
• 检测算法的运行时间为 $\widetilde{O}\left(\frac{n^3}{k^3}\right)$，表明在 $k$ 较大时，检测与恢复之间存在细粒度分离，尽管已知恢复可归约为检测。
• 算法 4 的失败概率被控制在 $\frac{1}{3} + o(1)$ 以内，剩余的失败概率 $o(1)$ 通过集中不等式和向导辅助分析控制。
• 分析确认，当 $k = \omega(\sqrt{n})$ 时，无需检查整个图即可恢复植入团，凸显了统计-计算间隙的质性增强。