[论文解读] Finite-time and exact Lyapunov dimension of the Henon map

Н. В. Кузнецов, Г. А. Леонов+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2017

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 58被引用 3

一句话总结

本文提出了一种自适应算法，用于计算 Henon 映射中的有限时间李雅普诺夫维数，将解析估计扩展至收缩参数 $ b \in (-1, 0) $ 的情形，并证明了自激吸引子的精确李雅普诺夫维数公式。结果表明，自激吸引子的李雅普诺夫维数不超过不稳定平衡点 $ O_- $ 的维数，通过对称化雅可比矩阵与吸引子定位技术，精确推导出 $ a=1.4, b=0.3 $ 时的维数为 $ \dim_L \approx 1.495 $。

ABSTRACT

This work is devoted to further consideration of the Henon map with negative values of the shrinking parameter and the study of transient oscillations, multistability, and possible existence of hidden attractors. The computation of the finite-time Lyapunov exponents by different algorithms is discussed. A new adaptive algorithm for the finite-time Lyapunov dimension computation in studying the dynamics of dimension is used. Analytical estimates of the Lyapunov dimension using the localization of attractors are given. A proof of the conjecture on the Lyapunov dimension of self-excited attractors and derivation of the exact Lyapunov dimension formula are revisited.

研究动机与目标

• 将李雅普诺夫维数的解析估计方法扩展至收缩参数 $ b \in (-1, 0) $ 的 Henon 映射，该情形下瞬态动力学与多吸引子共存现象显著。
• 提出并应用一种新的自适应算法，用于有限时间李雅普诺夫维数的计算，以研究瞬态与混沌状态下的维数动力学。
• 证明猜想：自激吸引子的李雅普诺夫维数不超过其关联不稳定平衡点的维数，该平衡点的不稳定流形与吸引子的吸引域相交。
• 利用对称化雅可比矩阵与相空间中吸引子的定位技术，推导出自激吸引子李雅普诺夫维数的精确公式。
• 研究在参数变化下 Henon 映射中多吸引子共存（多稳定性）与隐藏吸引子的存在性。

提出的方法

• 提出一种用于有限时间李雅普诺夫维数计算的自适应算法，动态调整以适应系统的瞬态行为，提升计算精度与收敛性。
• 利用对称化雅可比矩阵 $ SJ S^{-1} $ 估计李雅普诺夫维数，其中 $ S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{|b|} \end{pmatrix} $，从而可计算奇异值 $ \sigma_1, \sigma_2 $ 以界定维数。
• 通过 Kaplan-Yorke 公式推导精确李雅普诺夫维数：$ \dim_L = 1 + \frac{1}{1 - \frac{\ln |b|}{\ln \sigma_1((x_-,x_-), S)}} $，在不稳定平衡点 $ O_- $ 处计算。
• 利用 Feit 的解析边界实现吸引子定位：$ |x| \leq \max\left\{ -r, m, \sqrt{b(m+a)+a-r} \right\} $，其中 $ r $ 与 $ m $ 为吸引子投影的边界。
• 利用李雅普诺夫维数在线性变换下的不变性，将平衡点处的维数与吸引子维数等同，前提是最大局部维数在该点达到。
• 通过数值与解析方法验证了标准 Henon 映射参数 $ a=1.4, b=0.3 $ 下的方法，收敛至 $ \dim_L \approx 1.495 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于收缩参数 $ b $ 的负值，自激吸引子的李雅普诺夫维数被其关联不稳定平衡点的维数所限制的猜想是否成立？
• RQ2 自适应算法能否在 $ b < 0 $ 的 Henon 映射瞬态与混沌状态中可靠地计算有限时间李雅普诺夫维数？
• RQ3 通过吸引子定位与对称化雅可比矩阵的奇异值，可推导出哪些李雅普诺夫维数的解析边界？
• RQ4 当 $ b $ 为负时，Henon 吸引子的李雅普诺夫维数如何变化？其是否仍与 Kaplan-Yorke 公式一致？
• RQ5 在 $ a=1.4, b=0.3 $ 条件下，Henon 映射中自激混沌吸引子的李雅普诺夫维数的确切值是多少？

主要发现

• 在 $ a=1.4, b=0.3 $ 条件下，Henon 映射中自激混沌吸引子的精确李雅普诺夫维数为 $ \dim_L = 1 + \frac{1}{1 - \frac{\ln 0.3}{\ln \sigma_1((x_-,x_-), S)}} \approx 1.495 $，该结果由平衡点 $ O_- $ 推导得出。
• 证明了自激吸引子的李雅普诺夫维数不超过其关联不稳定平衡点维数的猜想，适用于 $ b < 0 $，扩展了先前的研究结果。
• 自适应有限时间李雅普诺夫维数算法能够准确追踪瞬态振荡期间的维数动力学，在混沌状态下显著提升了可靠性。
• 对于 $ a=1.4, b=0.3 $，利用 Feit 定位法得到的豪斯多夫维数上界为 $ \dim_H K \leq 1.5319 $，略高于精确值。
• 李雅普诺夫维数在线性变换下保持不变，因此可利用对称化雅可比矩阵推导精确公式，而无需完整重构吸引子。
• 在 $ a=1.49, b=-0.138 $ 条件下，确认了多稳定性以及自激吸引子与隐藏吸引子的共存，表明该方法在复杂动力学中的适用性。