[论文解读] A short survey on Lyapunov dimension for finite dimensional dynamical systems in Euclidean space

Г. А. Леонов, Н. В. Кузнецов|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2015

Chaos control and synchronization参考文献 80被引用 3

一句话总结

本综述对欧几里得空间中有限维动力系统的李雅普诺夫维数理论提供了严谨且易于理解的综合分析，连接了卡普兰-约克、杜阿迪-奥斯特勒、康斯坦丁等人以及列昂诺夫的奠基性工作。该综述提出了一种基于直接李雅普诺夫方法的解析方法来估计李雅普诺夫维数，并推导出若干著名系统（包括具有隐 attractor 的洛伦兹系统及其广义形式）的精确公式，通过 MATLAB 中的数值计算验证了结果。

ABSTRACT

Nowadays there are a number of surveys and theoretical works devoted to the Lyapunov exponents and Lyapunov dimension, however most of them are devoted to infinite dimensional systems or rely on special ergodic properties of the system. At the same time the provided illustrative examples are often finite dimensional systems and the rigorous proof of their ergodic properties can be a difficult task. Also the Lyapunov exponents and Lyapunov dimension have become so widespread and common that they are often used without references to the rigorous definitions or pioneering works. The survey is devoted to the finite dimensional dynamical systems in Euclidean space and its aim is to explain, in a simple but rigorous way, the connection between the key works in the area: by Kaplan and Yorke (the concept of Lyapunov dimension, 1979), Douady and Oesterle (estimation of Hausdorff dimension via the Lyapunov dimension of maps, 1980), Constantin, Eden, Foias, and Temam (estimation of Hausdorff dimension via the Lyapunov exponents and dimension of dynamical systems, 1985-90), Leonov (estimation of the Lyapunov dimension via the direct Lyapunov method, 1991), and numerical methods for the computation of Lyapunov exponents and Lyapunov dimension. In this survey a concise overview of the classical results is presented, various definitions of Lyapunov exponents and Lyapunov dimension are discussed. An effective analytical method for the estimation of Lyapunov dimension is presented, its application to the self-excited and hidden attractors of well-known dynamical systems is demonstrated, and analytical formulas of exact Lyapunov dimension are obtained.

研究动机与目标

• 阐明并统一欧几里得空间中有限维系统李雅普诺夫维数与李雅普诺夫指数的理论基础。
• 在统一框架中整合卡普兰-约克（1979）、杜阿迪-奥斯特勒（1980）、康斯坦丁等人（1985–90）以及列昂诺夫（1991）的关键贡献。
• 提出一种基于直接李雅普诺夫方法的有效解析方法，用于估计李雅普诺夫维数。
• 为具有代表性的动力系统（包括具有自激和隐 attractor 的系统）推导李雅普诺夫维数的精确解析公式。
• 提供基于 MATLAB 的实用实现，用于计算有限时间李雅普诺夫指数与李雅普诺夫维数，并在基准系统上进行验证。

提出的方法

• 通过映射的奇异值函数与雅可比矩阵，建立豪斯多夫维数与李雅普诺夫维数之间的联系。
• 应用杜阿迪–奥斯特勒定理，为将卡普兰–约克公式应用于有限时间李雅普诺夫指数提供理论依据。
• 利用直接李雅普诺夫方法推导李雅普诺夫维数的解析估计，避免依赖遍历理论。
• 在 MATLAB 中实现数值算法，通过变分方程和基本矩阵的 QR/SVD 分解计算有限时间李雅普诺夫指数。
• 采用乘积 SVD 算法迭代更新基本矩阵，并从奇异值的对数增长速率计算李雅普诺夫指数。
• 通过将卡普兰–约克公式应用于排序后的有限时间李雅普诺夫指数，计算李雅普诺夫维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对有限维动力系统的李雅普诺夫维数进行严格定义，并将其与豪斯多夫维数联系起来？
• RQ2 将卡普兰–约克公式应用于有限时间李雅普诺夫指数的理论依据是什么？
• RQ3 能否为洛伦兹系统等著名系统推导出李雅普诺夫维数的精确解析公式？
• RQ4 直接李雅普诺夫方法如何在不假设系统具有遍历性或统计性质的前提下实现李雅普诺夫维数的估计？
• RQ5 基于 MATLAB 的算法在计算李雅普诺夫指数与维数时，其精度与可靠性如何？

主要发现

• 综述表明，李雅普诺夫维数为有限维系统中吸引子的豪斯多夫维数提供了上界。
• 对于参数为 r=700, σ=4, b=1, a=0.0052 的广义洛伦兹系统，李雅普诺夫指数计算结果约为 1.873, 0.000, 和 -11.873，对应的李雅普诺夫维数为 2.158。
• 为亨松映射、洛伦兹系统、古鲁霍夫斯基-多尔然斯基系统、蒂甘与杨系统以及清水-森冈系统推导出李雅普诺夫维数的精确解析公式。
• 直接李雅普诺夫方法可在不假设系统具有遍历性或统计性质的前提下，实现李雅普诺夫维数的严格估计。
• MATLAB 中的数值实现成功计算了有限时间李雅普诺夫指数与维数，且在长时间积分下验证了收敛性。
• 该方法证实李雅普诺夫维数在微分同胚下保持不变，支持其作为鲁棒几何不变量的使用。