[论文解读] Finite Volume Spaces and Sparsification

Ilan Newman, Yuri Rabinovich|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文引入了有限 $d$-体积作为度量空间的高维推广，并发展了 $ε_1$-体积的理论——具体而言，$ε_1$-体积推广了割度量，并包含欧几里得体积和超树体积。研究表明，任何 $d$-体积均可通过 $O(n^d)$ 的失真程度由 $ε_1$-体积近似，但对于 $d=2$，某些 $2$-体积至少需要 $\tilde{\Omega}(n^{1/5})$ 的失真；同时，本文建立了使用割度量对任意 $\ell_1$ 度量实现 $(1+\epsilon)$-近似的失真上界为 $O(n/\epsilon^2)$，优于以往的界限。

ABSTRACT

We introduce and study finite $d$-volumes - the high dimensional generalization of finite metric spaces. Having developed a suitable combinatorial machinery, we define $\ell_1$-volumes and show that they contain Euclidean volumes and hypertree volumes. We show that they can approximate any $d$-volume with $O(n^d)$ multiplicative distortion. On the other hand, contrary to Bourgain's theorem for $d=1$, there exists a $2$-volume that on $n$ vertices that cannot be approximated by any $\ell_1$-volume with distortion smaller than $ ildeΩ(n^{1/5})$. We further address the problem of $\ell_1$-dimension reduction in the context of $\ell_1$ volumes, and show that this phenomenon does occur, although not to the same striking degree as it does for Euclidean metrics and volumes. In particular, we show that any $\ell_1$ metric on $n$ points can be $(1+ ε)$-approximated by a sum of $O(n/ε^2)$ cut metrics, improving over the best previously known bound of $O(n \log n)$ due to Schechtman. In order to deal with dimension reduction, we extend the techniques and ideas introduced by Karger and Bencz{ú}r, and Spielman et al.~in the context of graph Sparsification, and develop general methods with a wide range of applications.

研究动机与目标

• 开发有限 $d$-体积的系统理论，作为有限度量空间的高维推广。
• 将图稀疏化技术——最初由 Karger 和 Benczúr，以及 Spielman 等人提出——推广至 $\ell_1$-体积与 $d$-体积的语境中。
• 解决 $\ell_1$-维数约简问题：$n$ 个点上的 $\ell_1$ 度量能否通过少于 $O(n \log n)$ 个割度量实现 $(1+\epsilon)$-近似？
• 建立用 $\ell_1$-体积近似 $d$-体积时的失真界限，特别是针对 $d=2$ 的情形，并表明此类近似效率不如欧几里得情形。
• 将所发展的稀疏化框架应用于几何不均匀性问题，例如在 $\mathbb{R}^2$ 中为多边形体构造小规模加权采样集合。

提出的方法

• 通过单纯复形的组合结构引入 $d$-体积，将超割与 $\ell_1$-体积定义为 $d$-维割度量的非负线性组合。
• 利用子集族及其分裂行为之间的关联矩阵，界定矩阵的秩，从而获得 $\ell_1$-体积的结构性结果。
• 应用概率与线性代数技术，证明随机布尔矩阵以高概率具有秩 $\theta(\min\{\log m, n\})$。
• 基于对 $d$-超割的加权采样，发展一种稀疏化方法，利用 $\ell_1$-体积可表示为 $d$-维割度量的非负组合这一事实。
• 设计一种多项式时间算法，计算一个大小为 $O(n^2 / \epsilon^2)$ 的加权采样集合 $P$，使得其对所有顶点属于平面上 $n$ 个点集合 $S$ 的多边形的体积实现 $(1\pm\epsilon)$-近似。
• 利用三角形在 $\mathbb{R}^2$ 中诱导的体积构成几何 $\ell_1$-体积这一事实，使定理 16 可被应用以实现维数约简。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以有界失真用 $\ell_1$-体积近似任意有限 $d$-体积，且当 $d=2$ 时的最佳可能失真是多少？
• RQ2 $\ell_1$-维数约简是否适用于 $n$ 个点上的 $\ell_1$-度量？若成立，需要多少个割度量才能实现 $O(1+\epsilon)$ 的失真？
• RQ3 是否存在对某些 $2$-体积用 $\ell_1$-体积近似所需失真的超常数下界？其与上界相比如何？
• RQ4 图论中的稀疏化技术能否推广至 $d$-体积，并应用于几何不均匀性问题？
• RQ5 在 $\mathbb{R}^2$ 中，对有限点集的多边形体积实现 $(1\pm\epsilon)$-近似的最小加权采样集合大小是多少？

主要发现

• 任何 $d$-体积均可通过 $\ell_1$-体积以乘法失真 $O(n^d)$ 进行近似，且该界在对数因子意义下是紧的。
• 存在一个在 $n$ 个顶点上的 $2$-体积，无法被任何 $\ell_1$-体积以小于 $\tilde{\Omega}(n^{1/5})$ 的失真近似，表明当 $d=2$ 时存在超常数下界，与 $d=1$ 时可通过 Bourgain 定理实现 $O(1)$ 失真的情形形成对比。
• 任何 $n$ 个点上的 $\ell_1$ 度量均可通过 $O(n / \epsilon^2)$ 个割度量的和实现 $(1+\epsilon)$-近似，优于 Schechtman 提供的先前 $O(n \log n)$ 边界。
• 对于 $\ell_1$-体积的一个自然子类（包括 $d=1$ 时的所有 $\ell_1$ 度量），所需超割 $d$-体积的数量为 $O(n^d / \epsilon^2)$，显著优于平凡的 $O(n^{d+1})$ 边界。
• 可高效构造一个大小为 $O(n^2 / \epsilon^2)$ 的加权采样集合 $P$，使其对所有顶点属于平面中 $n$ 个点集合 $S$ 的多边形实现 $(1\pm\epsilon)$-体积近似，从而解决了几何不均匀性问题。
• 该方法可推广至高维：对于 $d$-单形与关于 $S$ 的可三角剖分多面体，大小为 $O(n^d / \epsilon^2)$ 的采样集合足以实现 $(1\pm\epsilon)$-体积近似。