[论文解读] Finiteness of cohomology of local systems on rigid analytic spaces

Kiran S. Kedlaya, Ruochuan Liu|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文通过在pro-étale拓扑中引入相对$(\varphi,\Gamma)$-模的新框架，建立了在$p$-进域上光滑射影刚性解析空间上，étale $\mathbb{Q}_p$-局部系统上上同调群的有限维性。关键结果证明了$H^i(X,V)$是有限维的$\mathbb{Q}_p$-向量空间，当$K$为代数闭域时在$i > 2\dim(X)$时消失，当$K$为$\mathbb{Q}_p$的有限扩张时在$i > 2\dim(X)+2$时消失，将Scholze的$p$-进比较同构推广到了超越代数几何的解析局部系统。

ABSTRACT

We prove that the cohomology groups of an etale Q_p-local system on a smooth proper rigid analytic space are finite-dimensional Q_p-vector spaces, provided that the base field is either a finite extension of Q_p or an algebraically closed nonarchimedean field containing Q_p. This result manifests as a special case of a more general finiteness result for the higher direct images of a relative (phi, Gamma)-module along a smooth proper morphism of rigid analytic spaces over a mixed-characterstic nonarchimedean field.

研究动机与目标

• 建立在$p$-进域上光滑射影刚性解析簇上，$\mathbb{Q}_p$-局部系统上étale上同调群的有限维性。
• 将Scholze的$p$-进比较同构推广至不来自$\mathbb{Z}_p$-局部系统的解析局部系统，例如来自Tate统一化的系统。
• 为光滑射影刚性解析空间之间的光滑射影态射，建立相对$(\varphi,\Gamma)$-模的高阶直接像的一般理论。
• 建立$\mathbb{Q}_p$-局部系统上的相对étale-de Rham比较同构，推广先前仅限于$\mathbb{Z}_p$-局部系统的相关结果。

提出的方法

• 利用pro-étale拓扑和完美oid空间，构造一个具有Frobenius $\varphi$ 和Galois作用$\Gamma$ 的$p$-进周期层$\tilde{\mathbf{C}}$，从而实现上同调的模理论重述。
• 通过与$\tilde{\mathbf{C}}$张量化，将$\mathbb{Q}_p$-局部系统转化为相对$(\varphi,\Gamma)$-模，使得上同调可计算为复形$\mathcal{F} \xrightarrow{\varphi - 1} \mathcal{F}$的上上同调。
• 应用Banach空间中完全连续同态的Cartan-Serre方法证明有限维性，避免依赖诺特性假设。
• 建立高阶直接像与基变换的相容性，并证明de Rham $(\varphi,\Gamma)$-模在适当推前下保持不变。
• 利用$(\varphi,\Gamma)$-模上的de Rham条件，通过$D_{\operatorname{dR}}(\mathcal{F})$将上同调与de Rham上同调联系起来，并证明$R^if_*D_{\operatorname{dR}}(\mathcal{F})$与$D_{\operatorname{dR}}(R^if_{\operatorname{pro\acute{e}t}*}\mathcal{F})$之间的同构。
• 在pro-étale设定中应用Artin-Schreier正合列，将$V$的上同调与相关$(\varphi,\Gamma)$-模$\mathcal{F}$的上同调联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在含有$\mathbb{Q}_p$的非阿赋值代数闭域$K$上的光滑射影刚性解析空间$X$上，$\mathbb{Q}_p$-局部系统$V$的上同调群$H^i(X,V)$是否为$\mathbb{Q}_p$-向量空间上的有限维？
• RQ2 有限维性结果是否可推广至不来自$\mathbb{Z}_p$-局部系统的$\mathbb{Q}_p$-局部系统，例如来自Tate统一化的系统？
• RQ3 是否可将$\mathbb{Z}_p$-局部系统上的étale-de Rham比较同构推广至刚性解析设定中的$\mathbb{Q}_p$-局部系统？
• RQ4 沿光滑射影态射的相对$(\varphi,\Gamma)$-模的高阶直接像是否保持有限维性与de Rham性质？
• RQ5 是否存在一个相对版本的比较同构，将$\mathcal{F}$的pro-étale上同调与$R^if_*\mathcal{F}$的de Rham上同调联系起来？

主要发现

• 对于一个在包含$\mathbb{Q}_p$的非阿赋值代数闭域$K$上的光滑射影刚性解析空间$X$，上同调群$H^i(X,V)$是有限维的$\mathbb{Q}_p$-向量空间，且当$i > 2\dim(X)$时消失。
• 当$K$为$\mathbb{Q}_p$的有限扩张时，上同调群$H^i(X,V)$是有限维的$\mathbb{Q}_p$-向量空间，且当$i > 2\dim(X) + 2$时消失。
• 沿光滑射影态射$f: Y \to X$的相对$(\varphi,\Gamma)$-模$\mathcal{F}$的高阶直接像$R^if_{\operatorname{pro\acute{e}t}*}\mathcal{F}$是$\tilde{\mathbf{C}}^{[s,r]}_X$上的有限维空间，并保持de Rham条件。
• 自然态射$R^if_*D_{\operatorname{dR}}(\mathcal{F}) \to D_{\operatorname{dR}}(R^if_{\operatorname{pro\acute{e}t}*}\mathcal{F})$是同构，确立了相对étale-de Rham比较同构。
• $V$的上同调同构于$R^if_{\operatorname{pro\acute{e}t}*}\mathcal{F}$的$\varphi$-不变部分，即$R^if_{\operatorname{pro\acute{e}t}*}V \cong (R^if_{\operatorname{pro\acute{e}t}*}\mathcal{F})^{\varphi=1}$，从而提供了上同调的模理论计算方法。
• 对于光滑$X$，由将比较同构应用于平凡局部系统$V = \underline{\mathbb{Q}_p}$可得，层$R^if_*\Omega^j_{Y/X}$是向量丛。