[论文解读] First time to exit of a continuous Itô process: general moment estimates and L1-convergence rate for discrete time approximations

Bruno Bouchard, Stefan Geiß+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文基于到边界距离的条件，建立了连续伊藤过程首次首出时间的一般矩估计。证明了在扩散系数和边界行为满足温和正则性条件时，即使在无限时间horizon下，欧拉方案的离散首出时间在L¹范数下以最优的1/2阶收敛于真实首出时间。

ABSTRACT

We establish general moment estimates for the discrete and continuous exit times of a general Itô process in terms of the distance to the boundary. These estimates serve as intermediate steps to obtain strong convergence results for the approximation of a continuous exit time by a discrete counterpart, computed on a grid. In particular, we prove that the discrete exit time of the Euler scheme of a diffusion converges in the L1 norm with an order 1/2 with respect to the mesh size.

研究动机与目标

• 基于过程到边界的距离，推导连续伊藤过程首次首出时间的一般矩估计。
• 建立使用欧拉方案时，离散时间逼近的首出时间的强收敛速率。
• 解决关于离散首出时间L¹收敛速率的开放问题，特别是1/2阶速率是否可在无需ε-扰动的情况下实现。
• 将收敛结果推广至无限时间horizon，克服以往研究局限于有限horizon的局限性。
• 提供一个非马尔可夫框架以分析首出时间逼近，将先前结果推广至扩散过程之外的一般情形。

提出的方法

• 利用温和的非特征边界条件和一致的条件首出时间界，推导连续和离散首出时间的一般矩界。
• 在非马尔可夫设定下提出一个抽象收敛定理（定理3.1），适用于一般伊藤过程。
• 通过时间改变过程控制首出时间差，采用连续扩散与其欧拉近似之间的耦合论证。
• 利用停止时间分解和真实过程与欧拉方案之间的精细路径比较，利用欧拉误差的矩估计。
• 使用关于首出时间的统一尾部估计（假设(L)），涉及一个衰减函数φ(T)，以控制大偏差。
• 通过概率耦合论证建立收敛性，界定了离散与连续首出时间之间的L¹差。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用欧拉方案对扩散过程进行离散首出时间逼近时，其最优L¹收敛速率是多少？
• RQ2 即使在无限时间horizon下，是否可在无需ε-扰动的情况下实现L¹范数下1/2阶的收敛速率？
• RQ3 在一般伊藤过程设定下，首出时间的矩估计如何依赖于到边界的距离？
• RQ4 是否可在不依赖PDE工具的前提下，在非马尔可夫框架中建立强收敛结果？
• RQ5 扩散系数和区域的何种条件可确保离散首出时间在L¹范数下收敛于真实首出时间？

主要发现

• 欧拉方案的离散首出时间在L¹范数下以相对于网格大小最优的1/2阶收敛于真实首出时间。
• 该收敛速率即使在无限时间horizon下仍可实现，解决了文献中的一个开放问题。
• 被停止的过程（X_{t heta}）在L²范数下以1/4阶收敛，与L¹速率一致。
• 本文提供了基于到边界距离的一般首出时间矩估计，适用于连续和离散首出时间。
• 在温和条件下收敛结果成立：非特征边界条件和首出时间的统一尾部估计（假设(L)）。
• 证明方法避免了基于PDE的论证，适用于一般伊藤过程，而不仅限于标准扩散过程，从而推广了先前结果。