[论文解读] Fixed-energy multi-particle MSA implies dynamical localization

Victor Chulaevsky|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 24被引用 8

一句话总结

该论文证明了在多项式有界增长的图上，对于相互作用的多体安德森哈密顿量，固定能量多体多尺度分析（FEMPMSA）界蕴含动力局域化。通过扩展一种简化的FEMPMSA方案，并结合Germinet–Klein方法的一种变体，作者在随机势的边际分布具有正则性假设下，给出了一个初等证明，表明本征函数关联器的衰减快于任意幂律。

ABSTRACT

This work is a continuation of \cite{C12b} where we described two elementary derivations of the variable-energy MSA bounds from their fixed-energy counterparts, in the framework of single-particle disordered quantum particle systems on graphs with polynomially bounded growth of balls. Here the approach of \cite{C12b} is extended to multi-particle Anderson Hamiltonians with interaction; it plays a role similar to that of the Simon--Wolf criterion for single-particle Hamiltonians. A simplified, fixed-energy multi-particle MSA scheme was developed in our earlier work \cite{C08a}, based on a multi-particle adaptation of techniques from Spencer's paper \cite{Sp88}. Combined with a simplified variant of the Germinet--Klein argument \cite{GK01} described in \cite{C12a}, the outcome of the fixed-energy analysis results in an elementary proof of multi-particle dynamical localization with the decay of eigenfunction correlators faster than any power-law.

研究动机与目标

• 建立固定能量多体多尺度分析（FEMPMSA）与相互作用量子系统中动力局域化之间的直接联系。
• 在多体情形下，简化从固定能量MSA界推导变能量MSA界的过程，避免使用复杂的谱约化技术。
• 在随机势边际分布具有正则性假设下，证明本征函数关联器的衰减快于任意幂律。
• 将单体MSA技术——特别是Spencer与Germinet–Klein的方法——推广至多体、相互作用的情形。
• 仅基于固定能量分析与基于可分性的几何工具，提供一个自包含、初等的多体动力局域化证明。

提出的方法

• 将先前工作[C08a]中基于Spencer[Sp88]技术的简化固定能量多体MSA方案，拓展至具有相互作用的多体系统。
• 采用[C12a]中描述的Germinet–Klein方法的一种变体，将固定能量界转化为变能量MSA估计。
• 利用与Y. Suhov合作提出的有限体积构型可分性概念[CS08, CS09a, CS09b]，处理多体系统中的非相互作用子构型。
• 应用谱约化技术处理格林函数矩阵元，利用其具有受控极点数的有理函数结构。
• 依赖非共振条件 $|E - ( u_a + u_b)| \neq e^{L_k^\beta}$，通过哈密顿量的张量积分解来有界格林函数矩阵元。
• 通过在投影子构型中对本征值分离与局域化进行递归有界，建立格林函数矩阵元的指数衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 固定能量多体MSA界是否能蕴含相互作用量子系统中的动力局域化？
• RQ2 为实现本征函数关联器的超多项式衰减，随机势边际分布的最小正则性假设是什么？
• RQ3 Germinet–Klein谱约化技术如何适应具有相互作用的多体情形？
• RQ4 是否能以避免复杂概率工具的方式，从固定能量MSA推导出变能量MSA？
• RQ5 构型的可分性在简化多体MSA框架中起到何种作用？

主要发现

• 在多项式有界增长的图上，对于 $N \geq 2$ 个粒子的相互作用量子系统，固定能量多体MSA界蕴含动力局域化。
• 本征函数关联器的衰减快于任意幂律，即 $|G(\bx,\by;E)| \leq \exp(-\gamma(m,L_k,N) L_k)$，其中 $\gamma \to \infty$ 当 $L_k \to \infty$。
• 该证明依赖于对随机势边际分布的正则性假设，该假设使得谱约化得以简化，并避免了奇异测度带来的技术复杂性。
• 该方法通过简化版的Germinet–Klein论证，直接从FEMPMSA推导出变能量MSA，从而避免了对变能量MSA（VEMPMSA）的依赖。
• 对于 $N \geq 3$，正则性假设是必要的，以控制由长程隧穿引起的结构共振。
• 该结果在配置空间为连通可数图且球体具有多项式有界增长的假设下成立，推广了晶格情形。