[论文解读] Flags of sheaves, quivers and symmetric polynomials

Giulio Bonelli, Nadir Fasola+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文建立了嵌套瞬子quiver的稳定表示模空间与$\mathbb{P}^2$上框架化无挠层旗的模空间之间的同构，为$\mathbb{C}^2$上的嵌套Hilbert概形（秩一）及高阶层模空间提供了类似ADHM的构造。通过等变局部化，计算了虚拟拓扑不变量——特别是虚拟$\chi_{-y}$-亏格——表明在秩一情形下，生成函数与等变权下的修正Macdonald多项式一致。

ABSTRACT

We study the representation theory of the nested instantons quiver presented in [1], which describes a particular class of surface defects in four-dimensional supersymmetric gauge theories. We show that the moduli space of its stable representations provides an ADHM-like construction for nested Hilbert schemes of points on $\mathbb C^2$, for rank one, and for the moduli space of flags of framed torsion-free sheaves on $\mathbb P^2$, for higher rank. We introduce a natural torus action on this moduli space and use equivariant localization to compute some of its (virtual) topological invariants, including the case of compact toric surfaces. We conjecture that the generating function of holomorphic Euler characteristics for rank one is given in terms of polynomials in the equivariant weights, which, for specific numerical types, coincide with (modified) Macdonald polynomials.

研究动机与目标

• 建立嵌套瞬子quiver的稳定表示模空间与$\mathbb{P}^2$上框架化无挠层旗的模空间之间的几何对应关系。
• 为$\mathbb{C}^2$上的点的嵌套Hilbert概形及高阶层模空间提供一种ADHM型构造。
• 在toric曲面上使用等变局部化计算虚拟拓扑不变量——特别是虚拟$\chi_{-y}$-亏格。
• 推测秩一情形下，虚拟欧拉示性数生成函数可用对称多项式表达，具体为修正Macdonald多项式。

提出的方法

• 构造具有单个框架节点的嵌套瞬子quiver的稳定表示模空间$\mathcal{N}(r,\mathbb{n})$，并赋予自然的$\mathbb{T} = T \times (\mathbb{C}^*)^r$环面作用。
• 证明$\mathcal{N}(r,\mathbb{n})$是一个具有完美障碍理论的虚拟光滑拟射影代数簇，并嵌入到光滑射影代数簇$\mathcal{M}(r,\mathbb{n})$中。
• 在$\mathcal{N}(r,\mathbb{n})$与$\mathbb{P}^2$上框架化无挠层旗的模空间$\mathcal{F}(r,\boldsymbol{\gamma})$之间建立同构，将秩一情形的推广至$\mathcal{N}(1,\mathbb{n}) \simeq \operatorname{Hilb}^{\hat{\mathbb{n}}}(\mathbb{C}^2)$。
• 应用等变局部化，在$\mathbb{P}^2$和$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$等紧致toric曲面上计算虚拟不变量，包括虚拟$\chi_{-y}$-亏格与椭圆亏格。
• 通过在toric曲面不同区域上对等变参数$\mathfrak{q}_1, \mathfrak{q}_2$取连续极限，分析虚拟$\chi_{-y}$-亏 gen 生成函数。
• 推导出关于对称函数的显式表达式，包括与$|\mu_0|$, $M_0$, 和$ s(\mu_i, \mu_j) $相关的$y$-幂，从而推测与Macdonald多项式之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 嵌套瞬子quiver的稳定表示模空间与$\mathbb{P}^2$上框架化无挠层旗的模空间之间有何关系？
• RQ2 能否通过此quiver模空间构造出$\mathbb{C}^2$上点的嵌套Hilbert概形的类似ADHM的构造？
• RQ3 在紧致toric曲面上，该模空间的虚拟不变量——特别是$\chi_{-y}$-亏格——的结构是怎样的？
• RQ4 在秩一情形下，虚拟$\chi_{-y}$-亏格生成函数是否与等变参数下的修正Macdonald多项式一致？
• RQ5 在不同toric区域上对参数$\mathfrak{q}_1, \mathfrak{q}_2$取等变极限，如何影响虚拟不变量的计算？

主要发现

• 嵌套瞬子quiver的稳定表示模空间$\mathcal{N}(1,\mathbb{n})$同构于嵌套Hilbert概形$\operatorname{Hilb}^{\hat{\mathbb{n}}}(\mathbb{C}^2)$，建立了quiver表示与Hilbert概形之间的直接几何联系。
• 在秩一情形下，$\operatorname{Hilb}^{\hat{\mathbb{n}}}(\mathbb{P}^2)$的虚拟$\chi_{-y}$-亏格生成函数以分拆的乘积和形式表达，其中$y$-幂依赖于$|\mu_0|$, $M_0$, 以及斜Schur函数$ s(\mu_i, \mu_j) $，如公式(4.14)所示。
• 在$\mathbb{P}^2$上，虚拟$\chi_{-y}$-亏格生成函数由四项组成，每项对应一个toric区域，极限产生如$y^{| u_0| - M_0}$和$y^{| u_0| - |\nu_0 \setminus \nu_1|}$等$y$-幂，如公式(4.14)所示。
• 在$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$上，生成函数同样分解为四项区域贡献，极限产生如$y^{\vert\nu_0\vert - M_0}$, $y^{\vert\nu_0\vert}$, 和$y^{\vert\nu_0\vert - |\nu_0 \setminus \nu_1| + M_0}$等$y$-幂，如公式(4.19)所示。
• $\mathbb{P}^2$和$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$上的虚拟$\chi_{-y}$-亏格生成函数均被证明可分解为与分拆组合学及斜Schur函数相关的项的乘积。
• 作者推测，在秩一情形下，虚拟全纯欧拉示性数的生成函数是等变权的多项式，对于特定数值类型，其退化为修正Macdonald多项式。