[论文解读] Flat vector bundles and analytic torsion on orbifolds

Shu Shen, Jianqing Yu|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 47被引用 6

一句话总结

本论文建立了平坦轨道丛向量丛与轨道丛基本群表示之间的对应关系，推导出紧致轨道丛上 Ray-Singer 度量的异常公式，并证明在紧致半单型局部对称轨道丛上，一个无挠酉平坦轨道丛向量丛的解析 torsion 等于 Ruelle 动力 zeta 函数在零点处的取值，通过谱理论与轨道积分方法，将先前在流形上的结果推广至轨道丛情形。

ABSTRACT

This article is devoted to a study of flat orbifold vector bundles. We construct a bijection between the isomorphic classes of proper flat orbifold vector bundles and the equivalence classes of representations of the orbifold fundamental groups of base orbifolds. We establish a Bismut-Zhang like anomaly formula for the Ray-Singer metric on the determine line of the cohomology of a compact orbifold with coefficients in an orbifold flat vector bundle. We show that the analytic torsion of an acyclic unitary flat orbifold vector bundle is equal to the value at zero of a dynamical zeta function when the underlying orbifold is a compact locally symmetric space of the reductive type, which extends one of the results obtained by the first author for compact locally symmetric manifolds.

研究动机与目标

• 通过轨道丛基本群的表示，建立平坦轨道丛向量丛的分类。
• 将 Bismut-Zhang 的 Ray-Singer 度量异常公式推广至具有平坦向量丛的紧致轨道丛情形。
• 证明在紧致半单型局部对称轨道丛上，一个无挠酉平坦轨道丛向量丛的解析 torsion 等于 Ruelle 动力 zeta 函数在零点处的取值。
• 通过谱理论与轨道积分技术，将先前在流形上关于解析 torsion 与 zeta 函数的结果推广至轨道丛情形。

提出的方法

• 在正规平坦轨道丛向量丛的同构类与轨道丛基本群表示的等价类之间构造一个双射。
• 利用解析 torsion 与 $L^2$-度量，定义上同调行列式线丛上的 Ray-Singer 度量。
• 推导 Ray-Singer 度量对数变分的异常公式，其表达式为轨道丛上局部可计算的陈-西蒙斯形式。
• 利用 Bismut 的半单轨道积分公式与 zeta-正则化行列式，将解析 torsion 与 Ruelle 动力 zeta 函数关联起来。
• 分析 Casimir 算子 $C^{rak{g},Z, ilde{ ho}}$ 的谱，并定义分次行列式 ${\rm det}_{\rm gr}(C^{rak{g},Z, ilde{ ho}} + \sigma)$。
• 证明 Selberg zeta 函数 $Z_{\eta,\rho}(\sigma)$ 的亚纯延拓，并建立恒等式 $Z_{\eta,\rho}(\sigma) = {\rm det}_{\rm gr}(C^\cdots) \exp(P_{\eta,\rho}(\sigma))$。

实验结果

研究问题

• RQ1 平坦轨道丛向量丛如何通过群表示进行分类？
• RQ2 具有平坦向量丛的紧致轨道丛上 Ray-Singer 度量的异常公式是什么？
• RQ3 在紧致半单型局部对称轨道丛上，无挠酉平坦轨道丛向量丛的解析 torsion 是否等于动力 zeta 函数在零点处的取值？
• RQ4 与流形相比，轨道丛上谱不变量（如解析 torsion 与 zeta 函数）的行为如何？
• RQ5 Bismut-Zhang 异常公式能否推广至轨道丛情形？

主要发现

• 在正规平坦轨道丛向量丛的同构类与轨道丛基本群表示的等价类之间，建立了一个典范双射。
• 推导出紧致轨道丛上 Ray-Singer 度量的异常公式，将 Bismut-Zhang 结果推广至轨道丛情形。
• 在紧致半单型局部对称空间上，无挠酉平坦轨道丛向量丛的解析 torsion 等于 Ruelle 动力 zeta 函数在零点处的取值。
• Selberg zeta 函数 $Z_{\eta,\rho}(\sigma)$ 具有亚纯延拓，并满足 $Z_{\eta,\rho}(\sigma) = {\rm det}_{\rm gr}(C^\cdots + \sigma_\eta + \sigma^2) \exp(P_{\eta,\rho}(\sigma))$，将解析 torsion 与 zeta 函数联系起来。
• zeta 函数的零点与极点的阶数由 Casimir 算子的谱与表示数据明确确定。
• 在无挠情形下，zeta 函数满足 $Z_{\eta,\rho}(0) = C_\rho$，其中 $C_\rho$ 为依赖于表示与几何的常数，从而证实了轨道丛上的 Fried 猜想。