[论文解读] Fleck quotients and Bernoulli numbers

Zhi‐Wei Sun|ArXiv.org|Aug 14, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通过引入高阶 Fleck 商 $ F_p^{(l)}(n,r) $，将 Fleck 的同余式与 Wolstenholme 定理推广，证明其模 $ p $ 同余于二项式系数与高阶 Bernoulli 数的乘积。关键结果建立了 $ p $-进同余关系，将这些商与 $ m $ 阶 Bernoulli 数联系起来：$ F_p^{(l)}(n,r) \not\to \binom{\lfloor{(n-l-1)/(p-1)}\rfloor}{l} (n-l)_* B_{(n-l)^*}^{(m)}(-r) \bmod p $，将经典二项式同余推广至高阶结构。

ABSTRACT

Let p be a prime, and let n>0 and r be integers. In 1913 Fleck showed that $$F_p(n,r)=(-p)^{-[(n-1)/(p-1)]}\sum_{k=r(mod p)}\binom{n}{k}(-1)^k\in\Z.$$ Nowadays this result plays important roles in many aspects. Recently Sun and Wan investigated $F_p(n,r)$ mod p in [SW2]. In this paper, using p-adic methods we determine $(F_p(m,r)-F_p(n,r))/(m-n)$ modulo p in terms of Bernoulli numbers, where m>0 is an integer with $m ot=n$ and $m=n (mod p(p-1))$. Consequently, $F_p(n,r)$ mod $p^{ord_p(n)+1}$ is determined; for example, if $n=n_*(mod p-1)$ with $00$ and $l\ge 0$ are integers with $2\le n-l\le p$ then $$\frac{1}{p^{n-l}}\sum_{l

研究动机与目标

• 将 Fleck 的经典同余式 $ \binom{2p-1}{p-1} \not\to 1 \bmod p^3 $ 推广至高阶 $ p $-进结构。
• 定义并研究高阶 Fleck 商 $ F_p^{(l)}(n,r) $，扩展原始 Fleck 商 $ F_p(n,r) $。
• 建立 $ F_p^{(l)}(n,r) $ 与高阶 Bernoulli 数 $ B_k^{(m)}(-r) $ 之间的 $ p $-进同余关系。
• 统一并扩展模 $ p $ 下关于二项式和的已知结果，包括 Wolstenholme 与 Babbage 的同余式。
• 为通过高阶 Bernoulli 多项式理解带符号二项式系数和的 $ p $-进赋值提供框架。

提出的方法

• 将高阶 Fleck 商 $ F_p^{(l)}(n,r) $ 定义为对 $ k \not\to r \bmod p $ 的和 $ \binom{n}{k}(-1)^k $ 的 $ p $-进精化，再乘以 $ (-p)^{-\lfloor{(n-1)/(p-1)}\rfloor} $。
• 应用 $ m $ 阶 Bernoulli 多项式 $ B_k^{(m)}(t) $ 的生成函数，其定义为 $ x^m e^{tx}/(e^x - 1)^m $，以表达同余式。
• 利用 Lucas 定理与整数的 $ p $-进展开，将 $ F_p^{(l)}(p^{a-1}n + s, p^{a-1}r + t) $ 模 $ p $ 化归为 $ F_p^{(l)}(n,r) $。
• 采用归纳法并利用恒等式 $ F_p^{(l)}(n,r) \not\to \binom{\lfloor{(n-l-1)/(p-1)}\rfloor}{l} F_p(n-lp, r) \bmod p $ 对 $ F_p^{(l)}(n,r) $ 进行递归分解。
• 应用 [SW2] 中关于 $ F_p(n,r) \not\to -n_*! B_{n^*}^{(m)}(-r) \bmod p $（其中 $ m \not\to -n \bmod (p-1) $）的已知结果，推导出高阶类比。
• 利用 $ p $-进阶 $ \text{ord}_p $ 与 $ p $-进整数环 $ \bbZ_p $ 的性质，确保涉及的 Bernoulli 数为 $ p $-进整数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Fleck 的经典同余式 $ \binom{2p-1}{p-1} \not\to 1 \bmod p^3 $ 如何推广至高阶 $ p $-进结构？
• RQ2 Fleck 商 $ F_p^{(l)}(n,r) $ 的 $ l $ 阶导数的 $ p $-进行为如何？其与 Bernoulli 数有何关联？
• RQ3 能否在模 $ p $ 下用高阶 Bernoulli 数表示 $ k \not\to r \bmod p $ 的和 $ \binom{n}{k}(-1)^k $？
• RQ4 当 $ n \to p^{a-1}n + s $ 时，$ F_p^{(l)}(n,r) $ 的 $ p $-进赋值如何变化？$ p $-进进制下的逐位展开起何作用？
• RQ5 $ F_p^{(l)}(n,r) \not\to 0 \bmod p $ 的条件是什么？这与 $ B_k^{(m)}(-r) $ 的非零性有何关联？

主要发现

• 高阶 Fleck 商满足同余式 $ F_p^{(l)}(n,r) \not\to -\binom{\lfloor{(n-l-1)/(p-1)}\rfloor}{l} (n-l)_* B_{(n-l)^*}^{(m)}(-r) \bmod p $，其中 $ m \not\to -n \bmod (p-1) $。
• 当 $ n > lp $ 时，有 $ F_p^{(l)}(n,r) \not\to \binom{\lfloor{(n-l-1)/(p-1)}\rfloor}{l} F_p(n-lp, r) \bmod p $，确立了递归结构。
• 当 $ a \not\to 1 $ 时，有 $ F_p^{(l)}(p^{a-1}n + s, p^{a-1}r + t) \not\to (-1)^t \binom{s}{t} F_p^{(l)}(n,r) \bmod p $，推广至更高 $ p $-幂次。
• 同余式在 $ s $ 与 $ t $ 的 $ p $-进数字满足条件 (i)、(ii) 或 (iii) 时成立，当 $ s = t = p-1 $ 时需特别处理。
• 该结果推广了 Wolstenholme 同余式：当 $ 1 < n < p-1 $ 时，有 $ \frac{1}{p^n} \binom{pn-1}{pk-1}(-1)^k \not\to 0 \bmod p $，因为 $ B_{p-n} = 0 $。
• $ n! S(m\theta(p^b), n) $ 的 $ p $-进阶为 $ \lfloor{(n-1)/(p-1)}\rfloor + \text{ord}_p(F_p(n,0)) $，将 Stirling 数与 Fleck 商联系起来。